[论文解读] $L^p$-maximal hypoelliptic regularity of nonlocal kinetic Fokker-Planck operators

Zhen-Qing Chen, Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文为一类具有时变系数的非局部动能 Fokker-Planck 方程建立了 $L^p$-最大拟椭圆正则性，证明了解在空间和速度方向上获得的分数阶正则性与强迫项的 $L^p$-范数成正比。关键结果是一条精确估计：对于 $p ∈ (1,\infty)$，有 $\|\Delta_{x}^{\alpha/(2(1+\alpha))}u\|_p + \|\Delta_{\mathrm{v}}^{\alpha/2}u\|_p ≤ C\|f\|_p$，将经典拟椭圆理论推广至非局部算子。

ABSTRACT

For $p\in(1,\infty)$, let $u(t,x,v)$ and $f(t,x,v)$ be in $L^p(\mathbb{R} imes \mathbb{R}^d imes \mathbb{R}^d)$ and satisfy the following nonlocal kinetic Fokker-Plank equation on $\mathbb{R}^{1+2d}$ in the weak sense: $$ \partial_t u+v\cdot abla_x u=Δ^{α/{2}}_v u+f, $$ where $α\in(0,2)$ and $Δ^{α/{2}}_v$ is the usual fractional Laplacian applied to $v$-variable. We show that there is a constant $C=C(p,α,d)>0$ such that for any $f(t, x, v)\in L^p(\mathbb{R} imes \mathbb{R}^d imes \mathbb{R}^d)=L^p(\mathbb{R}^{1+2d})$, $$ \|Δ_x^{α/{(2(1+α))}}u\|_p+\|Δ_v^{α/{2}}u\|_p\leq C\|f\|_p, $$ where $\|\cdot\|_p$ is the usual $L^p$-norm in $L^p(\mathbb{R}^{1+2d}; d z)$. In fact, in this paper the above inequality is established for a large class of time-dependent non-local kinetic Fokker-Plank equations on $\mathbb{R}^{1+2d}$, with $U_t v$ and $\mathscr{L}^{ν_t}_{σ_t}$ in place of $v\cdot abla_x$ and $Δ^{α/2}_v$. See Theorem 3.3 for details.

研究动机与目标

• 将 $L^p$-正则性理论从局部算子推广至在速度方向具有分数阶拉普拉斯算子的非局部动能 Fokker-Planck 算子。
• 在位置和速度变量中为解建立精确的分数阶平滑估计。
• 通过傅里叶分析与奇异积分技术，将已知的 $L^2$-结果推广至 $L^p$-空间，其中 $p \in (1,\infty)$。
• 研究具有广义时变系数 $U_t$ 和 $\mathscr{L}^{\nu_t}_{\sigma_t}$ 的时变非局部动能方程的拟椭圆正则性。

提出的方法

• 使用傅里叶变换分析频域中的算子，将偏微分方程转化为乘子问题。
• 应用赫尔德不等式与富比尼定理，控制时间、位置和速度变量中的混合范数。
• 通过非局部算子的符号 $\psi^{\nu_r}_{\sigma_r}$ 导出的指数衰减界估计振荡积分。
• 利用变量替换与对称估计，控制解的分数阶拉普拉斯算子的 $L^2$-范数。
• 建立弱型 $(1,1)$ 估计，并通过插值方法将 $L^2$ 结果推广至 $L^p$，其中 $p \in (1,\infty)$。
• 通过极限过程与光滑紧支函数逼近证明主不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $p \in (1,\infty)$，分数阶拟椭圆正则性估计 $\|\Delta_x^{\alpha/(2(1+\alpha))}u\|_p + \|\Delta_{\mathrm{v}}^{\alpha/2}u\|_p \leq C\|f\|_p$ 是否成立，从而推广已知的 $L^2$ 结果？
• RQ2 能否为具有广义时变系数的时变非局部动能 Fokker-Planck 算子建立 $L^p$-最大拟椭圆正则性？
• RQ3 对于在速度方向具有分数阶拉普拉斯算子的非局部动能方程，解在位置和速度变量中的正则性增益的精确标度是什么？
• RQ4 输运项与非局部扩散项之间的相互作用如何影响解的 $L^p$-正则性？

主要发现

• 本文建立了精确的 $L^p$-最大拟椭圆正则性估计：对所有 $p \in (1,\infty)$，有 $\|\Delta_x^{\alpha/(2(1+\alpha))}u\|_p + \|\Delta_{\mathrm{v}}^{\alpha/2}u\|_p \leq C\|f\|_p$，其中 $C = C(p,\alpha,d) > 0$。
• 该结果适用于一大类时变非局部动能 Fokker-Planck 方程，其中 $U_t{\mathrm{v}}$ 和 $\mathscr{L}^{\nu_t}_{\sigma_t}$ 分别取代 ${{\mathrm{v}}\cdot\nabla_x}$ 和 $\Delta^{\alpha/2}_{\mathrm{v}}$。
• 当 $p=2$ 时，证明依赖于傅里叶分析、振荡积分的 $L^2$-有界性，以及符号 $\psi^{\nu_r}_{\sigma_r}$ 的指数衰减估计。
• 估计中的常数 $C$ 与解无关，仅依赖于 $p$、$\alpha$ 和维数 $d$。
• 该方法通过插值与弱型估计，将 Alexander（2015）与 Bouchut（2002）的先前 $L^2$ 结果推广至整个范围 $p \in (1,\infty)$。
• 位置变量中指数 $\alpha/(2(1+\alpha))$ 的标度是最优的，且与已知的 $L^2$-情形一致，证实了该算子的分数阶拟椭圆性质。