[论文解读] $L^p$-maximal regularity of nonlocal parabolic equation and applications

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 23被引用 6

一句话总结

该论文通过傅里叶分析和Fefferman-Stein的尖锐函数定理，建立了具有奇异、非对称Lévy算子的非局部抛物方程的$L^p$-最大正则性。它证明了强解的唯一存在性，刻画了此类伪微分算子在Bessel势空间中的定义域，并将该理论应用于推导由Cauchy过程驱动的SDE的Krylov估计，以及临界Hamilton-Jacobi方程和多维Burger方程的全局适定性。

ABSTRACT

By using Fourier's transform and Fefferman-Stein's theorem, we investigate the $L^p$-maximal regularity of nonlocal parabolic and elliptic equations with singular and non-symmetric Lévy operators, and obtain the unique strong solvability of the corresponding nonlocal parabolic and elliptic equations, where the probabilistic representation plays an important role. In particular, a characterization for the domain of pseudo-differential operators of Lévy type with singular kernels is given in terms of the Bessel potential spaces. As a byproduct, we show that a large class of non-symmetric Lévy operators generates an analytic semigroup in $L^p$-space. Moreover, as applications, we prove a Krylov's estimate for stochastic differential equation driven by Cauchy processes (i.e. critical diffusion processes), and also obtain the well-posedness to a class of quasi-linear first order parabolic equation with critical diffusion. In particular, critical Hamilton-Jacobi equation and multidimensional critical Burger's equation are uniquely solvable and the smooth solutions are obtained.

研究动机与目标

• 发展具有广义、可能奇异且非对称Lévy算子的非局部抛物与椭圆方程的$L^p$-正则性理论。
• 以Bessel势空间为框架，刻画具有奇异核的Lévy型伪微分算子的定义域。
• 在广义$L^p$-可积条件下，证明非局部抛物方程强解的存在性与唯一性。
• 建立一大类非对称Lévy算子在$L^p$-空间中生成解析半群的结果。
• 将正则性理论应用于推导由Cauchy过程驱动的SDE的Krylov估计，并证明临界拟线性抛物系统（包括多维临界Burger方程）的全局适定性。

提出的方法

• 使用傅里叶变换和Fefferman-Stein的尖锐极大函数定理，分析非局部方程的$L^p$-正则性。
• 通过Feynman-Kac公式引入概率表示，将解与具有Lévy跳跃的随机过程联系起来。
• 利用尺度变换方法，根据稳定性指数$\alpha$对临界、亚临界和超临界情形进行分类。
• 采用光滑化器和截断技术处理奇异核与非光滑系数。
• 在Bessel势空间中应用Gronwall不等式和紧致性论证，从正则化逼近中取极限。
• 通过取梯度将Hamilton-Jacobi方程转化为抛物方程组，并将主要正则性结果应用于耦合系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在系数具有弱可积性条件下，为具有广义、非对称Lévy算子和奇异核的非局部抛物方程建立$L^p$-最大正则性？
• RQ2 在给定Lévy测度条件下，具有奇异核的Lévy型伪微分算子的定义域在Bessel势空间中的精确刻画是什么？
• RQ3 一大类非对称Lévy算子是否在$L^p$-空间中生成解析半群？
• RQ4 Krylov估计能否推广到由Cauchy过程驱动的随机微分方程（即临界扩散情形）？
• RQ5 临界Hamilton-Jacobi方程和多维临界Burger方程是否具有唯一光滑解？

主要发现

• 论文在系数满足温和可积性条件时，为具有奇异、非对称Lévy算子的非局部抛物方程建立了$L^p$-最大正则性。
• 在给定Lévy测度条件下，具有奇异核的伪微分算子$\mathcal{L}^\nu$的定义域被刻画为Bessel势空间$H^{1,p}$。
• 一大类非对称Lévy算子在$L^p(\mathbb{R}^d)$上（$p \in (1, \infty)$）生成解析半群。
• 证明了由Cauchy过程驱动的SDE的Krylov估计（即$\alpha = 1$），将经典结果推广至临界情形。
• 通过正则性理论，证明了临界Hamilton-Jacobi方程和多维临界Burger方程存在唯一光滑解。
• 对于包含多维临界Burger方程在内的临界扩散类拟线性一阶抛物系统，建立了全局适定性。