[论文解读] L_p moments of random vectors via majorizing measures

Olivier Guédon, Mark Rudelson|ArXiv.org|Jul 1, 2005

Point processes and geometric inequalities被引用 12

一句话总结

本文通过使用主要测度法，建立了在凸体上对随机向量的线性泛函的 $L_p$ 矩的近似所需样本数的最优界。结果表明，对于等度对称的对数凹向量，$\lfloor n^{p/2}\log n\rfloor$ 个样本足以实现近乎等距的样本 $p$ 阶矩近似，显著改进了以往基于高斯过程和度量熵技术的结果。

ABSTRACT

For a random vector X in R^n, we obtain bounds on the size of a sample, for which the empirical p-th moments of linear functionals are close to the exact ones uniformly on an n-dimensional convex body K. We prove an estimate for a general random vector and apply it to several problems arising in geometric functional analysis. In particular, we find a short Lewis type decomposition for any finite dimensional subspace of L_p. We also prove that for an isotropic log-concave random vector, we only need about n^{p/2} \log n sample points so that the empirical p-th moments of the linear functionals are almost isometrically the same as the exact ones. We obtain a concentration estimate for the empirical moments. The main ingredient of the proof is the construction of an appropriate majorizing measure to bound a certain Gaussian process.

研究动机与目标

• 确定为在凸体上对随机向量的线性泛函的 $L_p$ 矩进行一致近似，所需独立同分布样本的最小数量。
• 通过主要测度法扩展 $L_p$ 范数的等距与同构矩估计，特别是针对等度对称对数凹向量和 $\psi_2$-分布向量。
• 通过利用塔拉格朗德的主要测度理论，改进几何泛函分析与高维概率中现有界。
• 通过次高斯过程与度量熵论证，建立经验 $p$ 阶矩的集中与期望界。
• 基于推导出的采样结果，为 $L_p$ 的有限维子空间提供一种简短的刘易斯型分解。

提出的方法

• 在指标集 $B_{p^*}^m \times B_2^n$ 上构造一个主要测度，以控制与经验 $p$ 阶矩相关联的随机过程的上确界。
• 利用塔拉格朗德的主要测度定理，通过与高斯过程的比较，控制经验过程的期望上确界。
• 应用度量熵与熵积分技术，以 $\ell_2$-基距离 $d((t,y),(t',y')) = (|t-t'|_2^2 + |y-y'|_2^2)^{1/2}$ 为基准，界定次高斯过程的期望上确界。
• 依赖于线性泛函 $y \mapsto \langle X, y \rangle$ 的 $\psi_2$-条件，确保次高斯尾部，并支持与高斯过程的比较。
• 通过 $L_p$-范数的经验平均的对偶论证，表达为 $\frac{1}{m^{1/p}} \sup_{t \in B_{p^*}^m} \sum_{j=1}^m t_j \langle X_j, y \rangle$，将问题简化为高斯过程比较。
• 应用主要测度定理，推导出 $\mathbb{E} \sup X_{t,y} \leq C \cdot \mathbb{E} \sup G_{t,y}$，其中 $G_{t,y}$ 是具有匹配协方差结构的高斯过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 为确保经验 $L_p$ 矩在凸体上对线性泛函的近似值与真实矩值一致接近，所需独立同分布样本的最小数量是多少？
• RQ2 主要测度法能否用于推导经验 $p$ 阶矩过程的期望上确界的紧致界？
• RQ3 对于等度对称对数凹向量和 $\psi_2$-分布向量，样本复杂度如何依赖于维度 $n$ 和矩阶 $p$？
• RQ4 这些结果能否推广到同构（而非近乎等距）矩估计？其在 $p$ 上的最优依赖关系是什么？
• RQ5 凸体的强严格凸性模与实现一致矩近似的样本量之间有何关联？

主要发现

• 对于 $\mathbb{R}^n$ 中的等度对称对数凹随机向量，$\lfloor n^{p/2} \log n \rfloor$ 个样本足以确保经验 $p$ 阶矩在高概率下与真实矩近乎等距。
• 对于满足线性泛函 $\psi_2$ 条件的一般等度对称向量，当 $m \geq n^{p/2}$ 时，有 $\mathbb{E} \sup_{y \in B_2^n} \left( \frac{1}{m} \sum_{j=1}^m |\langle X_j, y \rangle|^p \right)^{1/p} \leq c \sqrt{p}$。
• 该界是紧致的，其与高斯情形下的最佳已知结果一致，并在 $n$ 与 $p$ 的依赖关系上优于 [25] 和 [26] 的早期估计。
• 该方法为 $L_p$ 的任意有限维子空间提供了简短的刘易斯型分解，推广了 [9] 和 [14] 的结果。
• 本文建立了经验 $p$ 阶矩的集中估计，表明当 $m \geq n^{p/2}$ 时，以高概率，对所有 $y \in \mathbb{R}^n$，经验范数与真实 $L_p$ 范数相差一个常数因子。
• 该结果将克勒塔格与门德尔森的同构矩估计推广至所有 $p \geq 2$，且常数为与 $n$ 和 $p$ 无关的绝对常数。