[论文解读] $L^p$ solution of backward stochastic differential equations driven by a marked point process

Fulvia Confortola|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文在有界时间区间上，针对由带标记点过程驱动的倒向随机微分方程（BSDEs），建立了 $L^p$ 解的存在性与唯一性，其中 $p > 1$。证明了解可通过有限维确定性常微分方程（ODEs）系统进行逼近，并将该理论应用于证明非马尔可夫点过程控制问题中最优控制的存在性以及值函数的表示，该问题满足 $L^p$ 可积性条件。

ABSTRACT

We obtain existence and uniqueness in L^p, p>1 of the solutions of a backward stochastic differential equations (BSDEs for short) driven by a marked point process, on a bounded interval. We show that the solution of the BSDE can be approximated by a finite system of deterministic differential equations. As application we address an optimal control problems for point processes of general non-Markovian type and show that BSDEs can be used to prove existence of an optimal control and to represent the value function.

研究动机与目标

• 将由带标记点过程驱动的倒向 SDE 的 $L^p$ 理论从 $L^2$ 框架扩展至更广范围。
• 在生成器满足 $L^p$ 可 summability 条件和一致 Lipschitz 条件下，建立 $L^p$ 空间中 $p > 1$ 时解的存在性与唯一性。
• 通过有限跳跃过程构造逼近方案，并证明收敛性及误差估计。
• 将 BSDE 框架应用于求解一般非马尔可夫点过程的最优控制问题。
• 证明最优控制的存在性，并通过 BSDE 解表示值函数。

提出的方法

• 在加权 $L^p$ 空间中使用不动点论证，证明 BSDE 解的存在性与唯一性。
• 在跳跃时间完全不可预测的假设下，应用鞅表示定理。
• 通过将点过程截断为有限跳跃构造逼近方案，并证明其收敛至真实解。
• 推导逼近方案的误差估计，其依赖于最后一次跳跃时间的分布。
• 在额外技术假设 (A2) 成立时，将逼近的 BSDE 化为有限维确定性 ODE 系统。
• 将 BSDE 解应用于表示具有广义非马尔可夫动态的随机最优控制问题中的值函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p > 1$ 时，能否在 $L^p$ 可积性条件下，为由带标记点过程驱动的 BSDE 建立 $L^p$ 解的存在性与唯一性？
• RQ2 此类 BSDE 的解如何通过有限维 ODE 系统进行逼近？
• RQ3 BSDE 框架能否用于证明非马尔可夫点过程控制问题中最优控制的存在性？
• RQ4 哪些 $L^p$ 可积性与 Lipschitz 条件足以保证解的存在性？
• RQ5 如何利用关联 BSDE 的解来表示随机控制问题中的值函数？

主要发现

• 在终值条件 $\xi$ 和生成器 $f$ 满足 $L^p$ 可 summability 条件，且 $f$ 满足一致 Lipschitz 条件时，BSDE 在 $L^p_\beta$ 空间中对 $p > 1$ 存在唯一解。
• 解可通过由有限跳跃过程驱动的 BSDE 序列逼近，误差估计依赖于最后一次跳跃时间的分布。
• 在假设 A2 成立时，逼近的 BSDE 可化为有限维确定性 ODE 系统，从而支持数值计算。
• 在 $L^p$ 可积性与 Lipschitz 条件下，最优控制问题中的值函数可表示为 $Y_0$，即 BSDE 解的初始值。
• 最优控制 $u^*$ 由 $\underline{u}^Z$ 给出，其中 $Z$ 为 BSDE 解的 $Z$-分量，且 $Y_0 = \inf_{u \in \mathcal{A}} J(u)$。
• 提供了存在可测选择 $\underline{u}^Z$ 的充分条件，包括强度函数与代价函数的紧致性与连续性。