[论文解读] $L^p$ solutions of multidimensional BSDEs with weak monotonicity and general growth generators

Shengjun Fan|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文在生成器 $g$ 满足弱单调性条件和一般增长条件的前提下，建立了多维倒向随机微分方程（BSDEs）$L^p$（$p>1$）解的存在性与唯一性。主要贡献在于为这类解建立了稳定性与比较定理，将先前结果从Lipschitz或强单调性假设的限制中拓展出来。

ABSTRACT

In this paper, we first establish the existence and uniqueness of $L^p\ (p>1)$ solutions for multidimensional backward stochastic differential equations (BSDEs) under a weak monotonicity condition together with a general growth condition in $y$ for the generator $g$. Then, we overview several conditions related closely to the weak monotonicity condition and compare them in an effective way. Finally, we put forward and prove a stability theorem and a comparison theorem of $L^p\ (p>1)$ solutions for this kind of BSDEs.

研究动机与目标

• 将多维BSDE的$L^p$（$p>1$）解的存在性与唯一性结果，从生成器$g$的古典Lipschitz条件推广至更一般的情形。
• 将$g$的单调性条件从强单调或凹形式放松为弱单调性条件，并允许$y$方向上的一般增长。
• 在这些广义条件下，建立$L^p$解的稳定性定理与比较定理。
• 统一并比较文献中不同的单调性类型条件，阐明其相互关系与实际含义。

提出的方法

• 通过一个满足$\rho(0) = 0$且$\int_{0^+} \frac{u^{p-1}}{\rho^p(u)} du = \infty$的非减连续函数$\rho(\cdot)$，定义生成器$g$的弱单调性条件。
• 引入由生成器导出的模函数$F(r)$，并用其凹上界$\bar{\rho}$替代原先的凹函数$\rho$，从而可应用已知的存在性结果。
• 在空间$\mathcal{S}^p \times \mathrm{M}^p$中运用先验估计与Banach不动点法，证明$L^p$解的存在性与唯一性。
• 通过分析终端条件与生成器收敛的BSDE序列，建立稳定性定理。
• 在弱单调性与增长条件下，证明$L^p$解的比较定理，将经典结果推广至多维情形。
• 表明先前条件中对$\rho$的凹性假设可被连续性条件替代，从而显著扩大可接受生成器的范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 当生成器$g$仅满足弱单调性条件与$y$方向上的一般增长，而非Lipschitz或强单调性时，多维BSDE的$L^p$解是否仍能存在且唯一？
• RQ2 $g$的不同单调性类型条件之间有何关系？能否有效统一或比较这些条件？
• RQ3 在终端条件与生成器发生扰动时，何种条件可确保$L^p$解的稳定性？
• RQ4 在弱单调性与一般增长条件下，能否在多维情形下建立$L^p$解的比较定理？
• RQ5 单调性条件中对模连续性函数$\rho$的凹性要求是否必要？能否仅保留连续性条件？

主要发现

• 在弱单调性条件与$y$方向上的一般增长条件下，多维BSDE的$L^p$（$p>1$）解的存在性与唯一性得以确立。
• 弱单调性条件通过一个满足$\int_{0^+} \frac{u^{p-1}}{\rho^p(u)} du = \infty$的非减连续函数$\rho$定义，该条件推广了先前的凹性假设。
• 先前结果中对$\rho$的凹性要求可被连续性条件替代，显著扩大了可接受生成器的类。
• 证明了稳定性定理：若终端条件与生成器在$L^p$范数下收敛，则对应的$L^p$解在$\mathcal{S}^p \times \mathrm{M}^p$中收敛。
• 在弱单调性与增长条件下，建立了$L^p$解的比较定理，使得在终端值与生成器有序时，可对解进行比较。
• 证明方法依赖于构造导出函数$F(r)$的凹上界$\bar{\rho}$，该函数满足必要的可积性条件，从而可应用已知的存在性结果。