[论文解读] $L^p$ spectrum and heat dynamics of locally symmetric spaces of higher rank

Lizhen Ji, Andreas Weber⋆|arXiv (Cornell University)|May 17, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文研究了非紧局部对称空间在高秩情形下的 $L^p$ 特征谱与热半群动力学，将一秩情形的结果推广至高秩情形。结果表明，当 $p \in (1,2)$ 时，$L^p$ 热半群由于存在连续的特征值谱而表现出混沌行为；而当 $p \geq 2$ 时，此类混沌行为不会发生，揭示了在 $p=2$ 处存在一个精确的相变点。分析依赖于 Eisenstein 级数与 $L^p$ 空间中的谱界。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the spectrum of the $L^p$ Laplacian and the dynamics of the $L^p$ heat semigroup on non-compact locally symmetric spaces of higher rank. Our work here generalizes previously obtained results in the setting of locally symmetric spaces of rank one to higher rank spaces. Similarly as in the rank one case, it turns out that the $L^p$ heat semigroup on $M$ has a certain chaotic behavior if $p\in(1,2)$ whereas for $p\geq 2$ such a chaotic behavior never occurs.

研究动机与目标

• 将 $L^p$ 特征谱理论从一秩情形推广至高秩局部对称空间。
• 分析非紧、有限体积高秩局部对称空间上 $L^p$ 热半群的动力学行为。
• 确定在何种 $p$ 值下，$L^p$ 热半群表现出混沌行为，尤其关注 $L^p$ 拉普拉斯算子的谱结构。
• 建立 Eisenstein 级数在 $p < 2$ 时的 $L^p$-可积性，并利用其识别连续的特征值谱。
• 刻画 $L^p$ 热半群的周期集合，并将其与虚轴上的谱结构相联系。

提出的方法

• 推导 $M = \Gamma \backslash X$ 上 Eisenstein 级数的上界，以确立其在 $p < 2$ 时的 $L^p$-可积性。
• 利用 Helgason-Fourier 变换与 $L^p$ 逆公式（Stanton-Tomas）分析拉普拉斯算子的 $L^p$ 特征谱。
• 将抛物区域 ${\cal P}_{M,p}(\rho_{\bf P})$ 定义为 $\Delta_{M,p}$ 的谱集，其由 $\rho_{\bf P}$ 与 $p$ 参数化。
• 应用 $C_0$-半群的子空间混沌理论，利用虚轴上存在特征值的事实来检测混沌动力学。
• 利用 ${\cal P}_{M,p}(\rho_{\bf P})$ 边界的参数化，计算其与虚轴的交点，从而确定周期集合。
• 利用如下事实：当 $p \geq 2$ 时，$\Delta_{M,p}$ 的点谱是离散的，而当 $p \in (1,2)$ 时，其点谱在 $\mathbb{C}$ 中包含一个连续开集，从而导致混沌行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些 $p \in (1,\infty)$ 下，高秩局部对称空间上的 $L^p$ 热半群表现出混沌动力学？
• RQ2 非紧、有限体积高秩局部对称空间上，拉普拉斯算子 $\Delta_{M,p}$ 的 $L^p$ 特征谱具有何种结构？
• RQ3 在何种条件下，Eisenstein 级数 $E({\bf P}|\varphi,\Lambda)$ 属于 $L^p(M)$（当 $p < 2$ 时）？
• RQ4 如何将 $L^p$ 热半群的周期与 $\Delta_{M,p}$ 的谱性质相联系，特别是其谱与虚轴的交点？
• RQ5 临界阈值 $c_p$ 是什么？当 $p \in (1,2)$ 时，$e^{-t(\Delta_{M,p}-c)}$ 在 $c > c_p$ 时变为子空间混沌？

主要发现

• 当 $p \in (1,2)$ 时，$L^p$ 热半群 $e^{-t\Delta_{M,p}}$ 表现出子空间混沌，因为生成元 $\Delta_{M,p}$ 在 $c > c_p$ 时具有与虚轴相交的连续特征值集合。
• 当 $p \geq 2$ 时，$L^p$ 热半群永远不会表现出子空间混沌，因为 $\Delta_{M,p}$ 的点谱是离散的，无法在虚轴上形成无限且非离散的集合。
• 临界阈值为 $c_p = \frac{4||\rho_{\bf P}||^2}{p}\left(1 - \frac{1}{p}\right)$，当 $p \in (1,2)$ 且 $c > c_p$ 时，$e^{-t(\Delta_{M,p}-c)}$ 变为混沌。
• $\Delta_{M,p}$ 的 $L^p$ 特征谱包含于一个抛物区域 ${\cal P}_{M,p}'$ 中，该区域内部在 $p \in (1,2)$ 时包含特征值，但在 $p \geq 2$ 时不包含。
• 当 $p \in (1,2)$ 且 $c > c_p$ 时，区间 $[2\pi / r(c,p), \infty)$ 中除有限个点外的所有点都是半群 $e^{-t(\Delta_{M,p}-c)}$ 的周期，其中 $r(c,p) = 2||\rho_{\bf P}||\left(1 - \frac{2}{p}\right)\sqrt{c - c_p}$。
• 在 $\Lambda$ 的适当选取下，Eisenstein 级数 $E({\bf P}|\varphi, \Lambda)$ 属于 $L^p(M)$（当 $p < 2$ 时），使其可作为 $\Delta_{M,p}$ 的特征函数。