[论文解读] Lévy processes with respect to the index Whittaker convolution

Rúben Sousa, Manuel Guerra+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文引入了关于索引Whittaker卷积的Lévy过程，这是一种在[0, ∞)上通过Whittaker函数定义的广义卷积。它建立了Lévy-Khintchine表示，并证明了索引Whittaker扩散的局部鞅表征——表明在该卷积下，Shiryaev过程的平方根是高斯过程，类似于Lévy对布朗运动的表征。

ABSTRACT

The index Whittaker convolution operator, recently introduced by the authors, gives rise to a convolution measure algebra having the property that the convolution of probability measures is a probability measure. In this paper, we introduce the class of Lévy processes with respect to the index Whittaker convolution and study their basic properties. We prove that the square root of the Shiryaev process belongs to our family of Lévy process, and this is shown to yield a martingale characterization of the Shiryaev process analogous to Lévy's characterization of Brownian motion. Our results demonstrate that a nice theory of Lévy processes with respect to generalized convolutions can be developed even if the usual compactness assumption on the support of the convolution fails, shedding light into the connection between the properties of the convolution algebra and the nature of the singularities of the associated differential operator.

研究动机与目标

• 开发关于索引Whittaker卷积的Lévy过程理论，这是一种在[0, ∞)上的广义卷积，其卷积无需紧支集条件。
• 在该广义卷积下建立无限可分分布与卷积半群的存在性。
• 将索引Whittaker扩散表征为高斯过程，并提供类似于Lévy对布朗运动定理的局部鞅表征。
• 证明即使标准超群紧致性条件不成立，仍可发展完整的随机过程理论，包括生成元与局部鞅性质。
• 将该框架扩展至离散时间$*$-可加马尔可夫链，并为此类过程推导强大数定律。

提出的方法

• 通过Whittaker函数$W_{\alpha,\nu}(x)$的修正乘积公式，在有限Borel测度上定义索引Whittaker卷积，确保概率测度的卷积仍为概率测度。
• 使用Whittaker函数的新Laplace型积分表示，推导关键解析性质，并支持卷积代数的构造。
• 通过使用均匀辅助变量$U$定义的随机运算$X \oplus_U Y$引入$*$-可加马尔可夫链的概念，确保和的分布为卷积$\mu * \nu$。
• 将索引Whittaker扩散的$L^2$-生成元确定为与Whittaker函数特征函数相关的微分算子$\mathcal{L}$的相反数。
• 通过证明过程$Z_t^{-\mathcal{L},\phi_1}$是连续局部鞅且其二次变差为$\frac{1}{2}\int_0^t Y_s^2 (\phi_1'(Y_s))^2 ds$，建立局部鞅表征，从而实现对索引Whittaker扩散的Lévy型表征。
• 应用超群理论中的矩函数技术，推导出在索引Whittaker卷积下$*$-随机游动的强大数定律。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为不满足超群紧致性条件的广义卷积发展出有意义的Lévy过程理论？
• RQ2 索引Whittaker扩散是否关于索引Whittaker卷积是高斯过程，且能否通过局部鞅性质表征？
• RQ3 Shiryaev过程的平方根在索引Whittaker卷积下是否具有Lévy-Khintchine表示？
• RQ4 能否为该卷积结构下的$*$-可加马尔可夫链建立强大数定律？
• RQ5 索引Whittaker扩散过程的$L^2$-生成元的显式形式是什么？

主要发现

• 证明了索引Whittaker扩散关于索引Whittaker卷积是高斯过程，将行为良好的Lévy过程类扩展至标准超群设定之外。
• 证明了Shiryaev过程的平方根在索引Whittaker卷积下是Lévy过程，为该过程提供了新的概率解释。
• 建立了局部鞅表征：连续过程$Y_t$是索引Whittaker扩散当且仅当$Z_t^{-\mathcal{L},\phi_1}$是局部鞅且其二次变差为$\frac{1}{2}\int_0^t Y_s^2 (\phi_1'(Y_s))^2 ds$，类似于Lévy对布朗运动的表征。
• 明确识别出索引Whittaker扩散的$L^2$-生成元为$-\mathcal{L}$，其中$\mathcal{L}$是与Whittaker函数特征函数相关的微分算子。
• 对于$*$-随机游动，强大数定律成立：若$\mathbb{E}[\widetilde{\varphi}_2(X_1)^{\theta/2}] < \infty$对$1 \leq \theta < 2$成立，则$\frac{1}{n^{1/\theta}}(\widetilde{\varphi}_1(S_n) - n\mathbb{E}[\widetilde{\varphi}_1(X_1)]) \to 0$几乎必然成立。
• 推导出Whittaker函数的新Laplace型积分表示，该结果本身具有独立兴趣，并支撑了卷积及其概率性质的构造。