[论文解读] L0+L1+L2 mixed optimization: a geometric approach to seismic imaging and inversion using concepts in topology and semigroup

August Lau, Chuan Yin|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2010

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出了一种几何优化框架，通过依次应用L1、L0和L2范数来增强数据调理效果并提高地震成像与反演的准确性。该方法利用L1去除脉冲事件，利用Betti数衡量的L0最小化拓扑复杂度，利用L2半群方法定义无几何依赖的数据拟合，从而在最优速度下实现低伪影的成像。

ABSTRACT

The mathematical interpretation of L0, L1 and L2 is needed to understand how we should use these norms for optimization problems. The L0 norm is combinatorics which is counting certain properties of an object or an operator. This is the least amplitude dependent norm since it is counted regardless of the magnitude. The L1 norm could be interpreted as minimal geometric description. It is somewhat sensitive to amplitude information. In geophysics, it has been used to edit outliers like spikes in seismic data. This is a good application of L1 norm. The L2 norm could be interpreted as the numerically simplest solution to fitting data with a differential equation. It is very sensitive to amplitude information. Previous application includes least square migration. In this paper, we will show how to combine the usage of L0 and L1 and L2. We will not be optimizing the 3 norms simultaneously but will go from one norm to the next norm to optimize the data before the final migration.

研究动机与目标

• 开发一种多范数优化框架用于地震成像，整合拓扑、几何与最小二乘原理。
• 解决传统基于L2的偏移方法产生的非地质性正弦伪影的局限性。
• 通过将拓扑简单性（L0）作为最优偏移速度选择的标准，改进速度分析与成像效果。
• 证明结合L1（脉冲去除）、L0（拓扑最小化）和L2（基于半群的拟合）可获得更稳健且地质上合理的成像结果。
• 通过合成与真实2D地震数据集验证该方法，表明在最小化拓扑复杂度的速度下可实现更优的成像效果。

提出的方法

• 首先应用L1变分范数，通过最小化总变差来去除如脉冲等奇异事件，同时保留平坦事件并抑制非光滑特征。
• 通过Betti数使用L0范数量化偏移图像中的拓扑复杂度（如孔洞数量），最小化该数量以识别最优偏移条件。
• 通过扩散图使用L2半群范数定义内在数据几何结构，无需依赖傅里叶或小波变换，避免产生正弦伪影。
• 按顺序执行优化：L1用于数据调理，L0用于拓扑简化，L2用于最终偏移以确保几何保真度。
• 通过改变速度进行半群偏移，生成一系列图像，然后在不同速度下计算Betti数（如B1），以检测拓扑复杂度最小值。
• 通过对比Betti数趋势与偏移速度验证方法，识别出对应于准确速度估计的最小值。

实验结果

研究问题

• RQ1 L1变分范数是否能在不扭曲平滑事件的前提下，有效抑制未偏移地震数据中的虚假脉冲与奇异事件？
• RQ2 通过L0（以Betti数衡量）最小化拓扑复杂度，是否能在合成与真实数据集中可靠地指示正确的偏移速度？
• RQ3 基于L2半群的偏移是否能避免标准最小二乘偏移中常见的非地质性正弦伪影？
• RQ4 与传统方法相比，按顺序应用L1、L0和L2范数在多大程度上提升了成像质量与速度分析效果？
• RQ5 在偏移图像中观察到的最小Betti数是否是真实地下速度模型的稳健指标？

主要发现

• L1变分范数成功从野外数据中去除了类似脉冲的奇异点，同时保留了平坦平滑事件，如图1(b)所示。
• 在含三个 diffractors 的合成数据集中，Betti数B1在1500 m/s的偏移速度下达到最小值，与真实速度一致，证实了拓扑简单性作为有效优化准则。
• 对于真实2D叠加剖面，Betti数B1在约1800 m/s时达到最小值，表明该速度为成像最优速度，如图7所示。
• 随着偏移速度偏离真实值（无论偏高或偏低），半群偏移序列产生的干涉图案复杂度逐渐增加，证实了拓扑复杂度上升的趋势。
• 结合L1（噪声抑制）、L0（拓扑优化）和L2（几何感知拟合）的成像结果比标准L2方法更具可解释性与地质合理性。
• 在L2偏移中使用半群方法实现了几何感知拟合，无需依赖傅里叶等预定义变换，从而减少了人工正弦伪影。