[论文解读] L2-orthogonal projections onto finite elements on locally refined meshes are H1-stable

Michael Karkulik, Carl‐Martin Pfeiler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 3被引用 3

一句话总结

该论文通过最新顶点二等分法，在局部加密的网格上建立了有限元空间上 L2 正交投影的 H1-稳定性。它证明了在任意维度 d ≥ 2 下，最低阶 Courant 单元的稳定性，并通过计算机辅助证明将结果扩展至更高阶的有限元空间 Sp(T)（p ≥ 1），包括施加狄利克雷边界条件或均值为零约束的子空间。

ABSTRACT

We merge and extend recent results which prove the H1-stability of the L2-orthogonal projection onto standard finite element spaces, provided that the underlying simplicial triangulation is appropriately graded. For lowest-order Courant finite elements S1(T) in Rd with d>=2, we prove that such a grading is always ensured for adaptive meshes generated by newest vertex bisection. For higher-order finite elements Sp(T) with p>=1, we extend existing bounds on the polynomial degree with a computer-assisted proof. We also consider L2-orthogonal projections onto certain subspaces of Sp(T) which incorporate zero Dirichlet boundary conditions resp. an integral mean zero property.

研究动机与目标

• 在局部加密的单纯形网格上，建立有限元空间上 L2 正交投影的 H1-稳定性。
• 证明在任意维度 d ≥ 2 下，最新顶点二等分法可确保最低阶 Courant 单元（S1(T)）的 H1-稳定性。
• 通过计算机辅助证明，将稳定性界扩展至更高阶有限元 Sp(T)（p ≥ 1）。
• 分析施加零狄利克雷边界条件或积分均值为零约束的 Sp(T) 子空间上的 L2 正交投影。
• 为依赖 L2 正交投影的自适应有限元方法提供理论基础。

提出的方法

• 使用最新顶点二等分法生成具有可控梯度的局部加密单纯形三角剖分。
• 通过理论分析证明，网格梯度可确保在 R^d（d ≥ 2）中 S1(T) 上 L2 正交投影的 H1-稳定性。
• 采用计算机辅助证明，将稳定性界扩展至更高阶有限元 Sp(T)（p ≥ 1）。
• 通过投影约束考虑包含狄利克雷边界条件或均值为零约束的 Sp(T) 子空间。
• 结合后验误差估计技术与网格梯度分析，以界定稳定性常数。
• 依赖插值估计与逆不等式，控制投影误差的 H1-范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在维度 d ≥ 2 下，通过最新顶点二等分法局部加密的网格上，S1(T) 上的 L2 正交投影是否保持 H1-稳定性？
• RQ2 在局部网格梯度条件下，L2 投影在 Sp(T)（p ≥ 1）上的 H1-稳定性是否可保证？可建立的 p 的界限为何？
• RQ3 狄利克雷边界条件或均值为零约束如何影响高阶有限元空间中 L2 正交投影的 H1-稳定性？
• RQ4 网格梯度在确保自适应网格上 L2 投影稳定性方面起什么作用？
• RQ5 计算机辅助方法能否用于验证超过标准理论极限的高阶有限元的 H1-稳定性界？

主要发现

• 在任意维度 d ≥ 2 下，通过最新顶点二等分法生成的所有局部加密网格上，S1(T) 上的 L2 正交投影均保持 H1-稳定性。
• 对于更高阶的有限元 Sp(T)（p ≥ 1），论文通过计算机辅助证明在网格梯度条件下建立了 H1-稳定性，扩展了已知的理论界限。
• 所考虑的有限元空间中，稳定性常数在网格加密过程中保持一致有界。
• 施加零狄利克雷边界条件或积分均值为零性质的 Sp(T) 子空间同样具备 H1-稳定的 L2 正交投影。
• 结果证实，采用最新顶点二等分法的自适应有限元方法在使用 L2 投影时是稳定的。
• 该分析为在具有最优收敛率的自适应有限元求解器中使用 L2 正交投影提供了理论依据。