[论文解读] L2-theory for the dbar-operator on compact complex spaces

Jean Ruppenthal|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2010

Geometry and complex manifolds被引用 1

一句话总结

本文通过奇点的解析与典范层的 $L^2$-解析，建立了紧致奇异复空间上 $¯\partial$-算子的 $L^2$-理论。它为 $(n,q)$-与 $(0,q)$-形式提供了 $L^2$-$¯\partial$-上同调的光滑表示，证明了几乎正线丛上 $L^2$-上同调的 Grauert-Riemenschneider 型消去定理，并引入了一类新的典范层，用于描述在奇点处具有 Dirichlet 型边界条件的 $L^2$-全纯 $n$-形式。

ABSTRACT

Let $X$ be a singular Hermitian complex space of pure dimension $n$. We use a resolution of singularities to give a smooth representation of the $L^2$-$\overline\partial$-cohomology of $(n,q)$-forms on $X$. The central tool is an $L^2$-resolution for the Grauert-Riemenschneider canonical sheaf $\mathcal{K}_X$. As an application, we obtain a Grauert-Riemenschneider-type vanishing theorem for forms with values in almost positive line bundles. If $X$ is a Gorenstein space with canonical singularities, then we get also an $L^2$-representation of the flabby cohomology of the structure sheaf $\mathcal{O}_X$. To understand also the $L^2$-$\overline\partial$-cohomology of $(0,q)$-forms on $X$, we introduce a new kind of canonical sheaf, namely the canonical sheaf of square-integrable holomorphic $n$-forms with some (Dirichlet) boundary condition at the singular set of $X$. If $X$ has only isolated singularities, then we use an $L^2$-resolution for that sheaf and a resolution of singularities to give a smooth representation of the $L^2$-$\overline\partial$-cohomology of $(0,q)$-forms.

研究动机与目标

• 为具有 Hermitian 度量的紧致奇异复空间上的 $\overline\partial$-算子发展 $L^2$-上同调理论。
• 解决奇异空间上 $(n,q)$-与 $(0,q)$-形式的 $L^2$-$\overline\partial$-上同调缺乏光滑表示的问题。
• 将 Grauert-Riemenschneider 消去定理推广至几乎正线丛值的 $L^2$-上同调。
• 引入并分析一类新的典范层，即在奇异集处具有 Dirichlet 型边界条件的平方可积全纯 $n$-形式。
• 利用 $L^2$-解析与奇点解析，为具有孤立奇点的空间上 $(0,q)$-形式的 $L^2$-$\overline\partial$-上同调提供光滑表示。

提出的方法

• 通过奇点解析，将奇异空间 $X$ 上的 $L^2$-$\overline\partial$-上同调问题提升至光滑的环境空间。
• 为 Grauert-Riemenschneider 典范层 $\mathcal{K}_X$ 构造一个 $L^2$-解析，以分析 $(n,q)$-形式的 $L^2$-$\overline\partial$-上同调。
• 引入一类新的典范层，其元素为在 $X$ 的奇异集处满足 Dirichlet 边界条件的平方可积全纯 $n$-形式。
• 对该新典范层应用 $L^2$-解析，以研究 $(0,q)$-形式的 $L^2$-$\overline\partial$-上同调。
• 利用奇点解析转移上同调数据，确保所得表示的光滑性。
• 利用 Gorenstein 与典范奇点的假设，将 $\mathcal{O}_X$ 的 $L^2$-上同调与结构层的内射上同调联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过奇点解析与 $L^2$-解析，为奇异 Hermitian 复空间上 $(n,q)$-形式的 $L^2$-$\overline\partial$-上同调提供光滑表示？
• RQ2 Grauert-Riemenschneider 典范层在构造 $L^2$-$\overline\partial$-上同调的 $L^2$-表示中起什么作用？
• RQ3 能否通过在奇点处具有 Dirichlet 型边界条件的 $L^2$-全纯 $n$-形式的新典范层，为 $(0,q)$-形式的 $L^2$-$\overline\partial$-上同调提供光滑表示？
• RQ4 在具有典范奇点的 Gorenstein 空间上，$(0,q)$-形式的 $L^2$-上同调是否可通过 $L^2$-解析与奇点解析实现光滑表示？
• RQ5 Grauert-Riemenschneider 型消去定理在 $L^2$-上同调与几乎正线丛值的情况下，可被推广到何种程度？

主要发现

• 为 Grauert-Riemenschneider 典范层 $\mathcal{K}_X$ 构造的 $L^2$-解析，使得奇异复空间上 $(n,q)$-形式的 $L^2$-$\overline\partial$-上同调可实现光滑表示。
• 本文证明了 $L^2$-$\overline\partial$-上同调在几乎正线丛值情形下的 Grauert-Riemenschneider 型消去定理。
• 对于具有典范奇点的 Gorenstein 空间，$\mathcal{O}_X$ 的 $L^2$-上同调可通过 $\mathcal{O}_X$ 的内射上同调实现光滑表示。
• 引入了一类新的典范层，其元素为在奇异集处满足 Dirichlet 边界条件的平方可积全纯 $n$-形式，用于研究 $(0,q)$-形式的 $L^2$-$\overline\partial$-上同调。
• 在具有孤立奇点的空间上，对该新典范层进行 $L^2$-解析，并结合奇点解析，可为 $(0,q)$-形式的 $L^2$-$\overline\partial$-上同调提供光滑表示。
• 该方法通过结合奇点解析技术与 $L^2$-解析工具，成功将经典 $L^2$-上同调理论推广至奇异复空间。