[论文解读] La Budde's Method for Computing Characteristic Polynomials

Rizwana Rehman, Ilse C. F. Ipsen|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 28被引用 8

一句话总结

本文提出 La Budde 方法，通过正交变换将实矩阵约化为上海森伯格（Hessenberg）形式，再递归计算系数，以计算特征多项式。与依赖特征值计算和复数运算、对特征值病态性敏感的 MATLAB 的 poly 函数相比，该方法在对称、不定及非对称矩阵上均表现出更优的数值精度。

ABSTRACT

La Budde's method computes the characteristic polynomial of a real matrix A in two stages: first it applies orthogonal similarity transformations to reduce A to upper Hessenberg form H, and second it computes the characteristic polynomial of H from characteristic polynomials of leading principal submatrices of H. If A is symmetric, then H is symmetric tridiagonal, and La Budde's method simplifies to the Sturm sequence method. If A is diagonal then La Budde's method reduces to the Summation Algorithm, a Horner-like scheme used by the MATLAB function POLY to compute characteristic polynomials from eigenvalues. We present recursions to compute the individual coefficients of the characteristic polynomial in the second stage of La Budde's method, and derive running error bounds for symmetric and nonsymmetric matrices. We also show that La Budde's method can be more accurate than POLY, especially for indefinite and nonsymmetric matrices A. Unlike POLY, La Budde's method is not affected by illconditioning of eigenvalues, requires only real arithmetic, and allows the computation of individual coefficients.

研究动机与目标

• 解决通过特征值计算特征多项式时的数值不稳定性问题，特别是在特征值病态时。
• 为 MATLAB 的 poly 函数提供一种数值稳定的替代方法，该函数依赖于特征值计算和复数运算。
• 实现特征多项式各项系数的精确计算，这对仅需部分多项式系数的应用至关重要。
• 为对称与非对称矩阵推导运行误差界，以量化数值精度。
• 证明 La Budde 方法在对称不定矩阵上仍能保持高相对精度，而 poly 函数因特征值条件不佳而失效。

提出的方法

• 使用正交相似变换将实矩阵 A 约化为上海森伯格形式 H，保持特征值不变并确保数值稳定性。
• 通过递归计算 H 的各阶主子矩阵的系数，求得 H 的特征多项式。
• 在方法的第二阶段推导特征多项式系数的递推关系。
• 为对称矩阵（推论 5）和非对称矩阵（定理 5）建立运行误差界，追踪系数计算过程中误差的传播。
• 仅使用实数运算，即使特征值为复数也避免复数运算，从而增强数值稳定性。
• 将该方法应用于测试矩阵（如 Frank 矩阵、Chow 矩阵、对称托普利茨矩阵），并与 MATLAB 的 poly 函数比较，使用符号计算获得精确参考值。

实验结果

研究问题

• RQ1 La Budde 方法是否能在特征值病态时，比 MATLAB 的 poly 函数更精确地计算特征多项式系数？
• RQ2 为对称与非对称矩阵推导的运行误差界，在多大程度上能准确预测系数计算的实际数值误差？
• RQ3 La Budde 方法是否在对称不定矩阵上仍能保持高相对精度，而此时 poly 函数因特征值条件不佳而失效？
• RQ4 该方法在病态特征多项式（如 Chow 矩阵）上的表现如何，尤其当约化误差可能被放大时？
• RQ5 能否在无需计算整个多项式的情况下，高效且精确地计算单项系数，以满足量子物理应用的需求？

主要发现

• La Budde 方法对对称不定三对角托普利茨矩阵的特征多项式计算具有高相对精度，奇数索引系数计算精确（误差 ≈ 0），而 poly 函数产生的系数模长高达 10^185。
• 对于 50 阶 Frank 矩阵，算法 2（La Budde 方法）能以高相对精度计算前 20 个系数，数值稳定性优于 poly 函数。
• 推论 5 中的运行误差界正确识别出对称托普利茨矩阵的奇数索引系数计算精确（φ₂ⱼ₋₁ = 0），与实际误差一致。
• 对于转置的 Chow 矩阵，算法 2 能将所有系数计算到高相对精度，而 poly 函数在较大索引处的相对误差显著增加。
• 对于标准 Chow 矩阵，约化为海森伯格形式会放大误差，尽管定理 11 的误差界较为保守，但该方法仍优于 poly 函数。
• La Budde 方法仅使用实数运算，约需 5n³ 次操作，比 poly 函数更快且更稳定，尤其在非对称和不定矩阵上优势明显。