[论文解读] La conjecture locale de Gross-Prasad pour les groupes spéciaux orthogonaux: le cas général

Colette Mœglin, Jean-Loup Waldspurger|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 1被引用 34

一句话总结

本文证明了在特征为零的非阿代尔局部域上，特殊正交群的局部格罗斯-普拉萨德猜想，确立了较小特殊正交群表示在较大表示中的重数至多为一，并通过朗兰兹参数和 epsilon 因子确定了重数恰好为一的条件。关键结果在奇数维与偶数维、奇偶性相反的一般情形下证实了该猜想，使用 L-包参数化与 epsilon 因子计算。

ABSTRACT

We prove the local Gross-Prasad conjecture for generic L-packets of representations of special orthogonal groups. The proof uses the same result for tempered L-packets proved in a preceding paper, and irreducibility results for the induced representations of whose the elements of the L-packets are Langlands quotients.

研究动机与目标

• 在特征为零的非阿代尔局部域上，建立特殊正交群的局部格罗斯-普拉萨德猜想。
• 刻画较小特殊正交群表示在较大表示中的重数，证明其至多为一。
• 通过朗兰兹参数与 epsilon 因子，提供重数恰好为一的精确判别准则。
• 将猜想推广至奇数维与偶数维正交群，且奇偶性相反的情形。
• 通过 L-包统一表示的参数化，并将其与局部朗兰兹对应联系起来。

提出的方法

• 利用局部朗兰兹对应，通过 $\Phi(G)$ 中的 L-参数（即 $Sp(d-1,\mathbb{C})$-共轭类的连续、半单、代数的 $SL(2,\mathbb{C})$-同态）来参数化特殊正交群的不可约酉表示。
• 对每个 $\varphi \in \Phi(G)$，通过从 Levi 子群的温顺表示进行正规化抛物诱导，构造 $L$-包 $\Pi^G(\varphi)$。
• 引入广义 $L$-包的概念，并通过组件群 $S(\varphi)/S(\varphi)^0$ 的特征标 $\epsilon \in \mathcal{E}^G(\varphi)$ 参数化 $\sigma(\varphi, \epsilon)$。
• 利用瓦尔德斯普尔格先前工作的积分公式，计算 epsilon 因子 $\varepsilon(\sigma(\varphi,\epsilon), \sigma'(\varphi',\epsilon'))$。
• 通过将 epsilon 因子与局部根数 $\mu(G,G')$ 关联，建立重数一的判别准则，即 $m(\sigma,\sigma') = 1$ 当且仅当 $E(\varphi,\varphi') = \mu(G,G')$。
• 在群非拟射影的情形下，当不存在 Levi 子群时，将 $L$-包设为空集。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 与 $G'$ 为奇偶性相反的特殊正交群时，$G'(F)$ 的表示在 $G(F)$ 的表示中的重数恰好为一的精确判别准则为何？
• RQ2 特殊正交群的 $L$-包如何通过局部朗兰兹对应参数化不可约酉表示？
• RQ3 epsilon 因子 $\varepsilon(\sigma, \sigma')$ 在确定重数 $m(\sigma, \sigma')$ 时起什么作用？
• RQ4 当较大群的维数为偶数时，局部格罗斯-普拉萨德猜想如何推广？
• RQ5 当 $G$ 非拟射影时，$L$-包 $\Pi^G(\varphi)$ 在何种条件下非空？

主要发现

• 表示 $\sigma'$ 在 $G(F)$ 的表示 $\sigma$ 中的重数 $m(\sigma, \sigma')$ 至多为一，确认了格罗斯-普拉萨德猜想的关键预测。
• 重数恰好为一当且仅当 epsilon 因子 $\varepsilon(\sigma(\varphi,\epsilon), \sigma'(\varphi',\epsilon'))$ 等于局部根数 $\mu(G,G')$，从而建立了精确判别准则。
• $L$-包 $\Pi^G(\varphi)$ 非空当且仅当对应的 Levi 子群 $L$ 存在于 $G$ 中；当非空时，其由组件群 $S(\varphi)/S(\varphi)^0$ 的特征标 $\epsilon \in \mathcal{E}^G(\varphi)$ 参数化。
• 即使在非拟射影情形下，通过朗兰兹参数的 $L$-包表示参数化也与重数一结果一致。
• 该结果在奇数维与偶数维特殊正交群中统一成立，偶数维情形通过正交群与行列式进行参数化调整。
• 证明依赖于局部朗兰兹对应与内播数据转移的相容性，关键技术输入来自瓦尔德斯普尔格先前工作的 epsilon 因子积分公式。