[论文解读] La théorie de l'homotopie des 2-catégories

Jonathan Chiche|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 3

一句话总结

本论文通过在 2-Cat 上构造一个 Quillen 模型结构，建立了 2-范畴的同伦理论，证明了 2-范畴的同伦范畴与小范畴的同伦范畴通过 Nerve 函子等价。该研究利用单纯方法、基本局部化子和 Quillen 定理 A 的 2-范畴版本，将 Grothendieck 的同伦理论从范畴推广至 2-范畴，表明 Nerve 函子诱导了同伦范畴 Ho(Cat) 与 Ho(2-Cat) 之间的等价关系。

ABSTRACT

On développe une théorie de l'homotopie des 2-catégories analogue à la théorie de l'homotopie des catégories développée par Grothendieck dans "À la poursuite des champs". Il s'agit de la thèse de doctorat de l'auteur. We develop a homotopy theory of 2-categories analogous to Grothendieck's homotopy theory of categories developed in "Pursuing Stacks." This is the author's PhD thesis.

研究动机与目标

• 将 Grothendieck 的同伦理论从范畴推广至 2-范畴。
• 在 2-范畴设定下定义并研究基本局部化子。
• 在小范畴与 2-范畴的同伦范畴之间建立 Quillen 等价关系。
• 将 Quillen 定理 A 推广至 2-范畴及弱态射（lax morphisms）的设定。
• 在 2-Cat 上构造一个弱等价由 Nerve 函子检测的模型结构。

提出的方法

• 使用 Nerve 函子 N: Cat → b∆ 及其 2-范畴类比，将 2-范畴与单纯集联系起来。
• 应用基本局部化子理论，定义 2-Cat 中的弱等价。
• 构造 Quillen 定理 A 的 2-范畴版本，适用于弱态射与 2-函子。
• 引入扭曲柱体与 2-截断以分析 2-Cat 中的同伦类型。
• 使用 c: b∆ → Cat 与 N: Cat → b∆ 之间的伴随关系，并通过 Grothendieck 构造将其推广至 2-范畴。
• 在单纯集中应用 Sd 与 Ex 函子，以稳定 Nerve 函子，并在 Cat 与 2-Cat 之间实现 Quillen 等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个在 2-Cat 上的 Quillen 模型结构，其弱等价由 Nerve 函子检测？
• RQ2 Quillen 定理 A 能否推广至 2-范畴设定下，适用于弱函子？
• RQ3 2-范畴的同伦范畴与小范畴的同伦范畴之间有何关系？
• RQ4 基本局部化子在 2-范畴语境下如何表现？
• RQ5 Nerve 函子能否诱导 Ho(Cat) 与 Ho(2-Cat) 之间的等价？

主要发现

• Nerve 函子 N: Cat → b∆ 在小范畴与单纯集的模型范畴之间诱导出一个 Quillen 等价。
• 2-范畴的同伦范畴 Ho(2-Cat) 与小范畴的同伦范畴 Ho(Cat) 等价。
• 对于弱函子，2-范畴版本的 Quillen 定理 A 成立，为 2-Cat 中的弱等价提供了判定准则。
• 2-Cat 的基本局部化子通过 Nerve 函子与 2-骨架截断（2-skeleton truncation）表征。
• 伴随关系 (c, N) 在 2-Cat 上不诱导 Quillen 等价，但复合函子 cSd² 与 Ex²N 可以。
• 通过 Grothendieck 2-范畴 ∆/X 的构造，可在同伦范畴层面为 Nerve 函子提供一个同伦逆。