[论文解读] Labeled Nearest Neighbor Search and Metric Spanners via Locality Sensitive Orderings

Arnold Filtser|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2022

Data Management and Algorithms被引用 4

一句话总结

本文提出了高维欧几里得空间、ℓp空间和Doubling空间的新局部敏感排序（LSOs），实现了高效的带标签最近邻搜索（NNS）和度量Spanner构造。通过以更大的伸展（stretch）换取更少的排序数量，作者在Spanner的时空复杂度和轻量化（lightness）边界上实现了改进，并基于LSOs设计了高效的带标签NNS数据结构，显著推进了高维度量空间领域的研究进展。

ABSTRACT

Chan, Har-Peled, and Jones [SICOMP 2020] developed locality-sensitive orderings (LSO) for Euclidean space. A $(τ,ρ)$-LSO is a collection $Σ$ of orderings such that for every $x,y\in\mathbb{R}^d$ there is an ordering $σ\inΣ$, where all the points between $x$ and $y$ w.r.t. $σ$ are in the $ρ$-neighborhood of either $x$ or $y$. In essence, LSO allow one to reduce problems to the $1$-dimensional line. Later, Filtser and Le [STOC 2022] developed LSO's for doubling metrics, general metric spaces, and minor free graphs. For Euclidean and doubling spaces, the number of orderings in the LSO is exponential in the dimension, which made them mainly useful for the low dimensional regime. In this paper, we develop new LSO's for Euclidean, $\ell_p$, and doubling spaces that allow us to trade larger stretch for a much smaller number of orderings. We then use our new LSO's (as well as the previous ones) to construct path reporting low hop spanners, fault tolerant spanners, reliable spanners, and light spanners for different metric spaces. While many nearest neighbor search (NNS) data structures were constructed for metric spaces with implicit distance representations (where the distance between two metric points can be computed using their names, e.g. Euclidean space), for other spaces almost nothing is known. In this paper we initiate the study of the labeled NNS problem, where one is allowed to artificially assign labels (short names) to metric points. We use LSO's to construct efficient labeled NNS data structures in this model.

研究动机与目标

• 为高维度量空间设计局部敏感排序（LSOs），以减少所需排序数量，通过牺牲伸展来提升效率。
• 提出一种带标签最近邻搜索（NNS）模型，通过为点分配人工标签以提升搜索效率。
• 利用新LSOs在多种度量空间中构造路径报告型、容错型、可靠型和轻量化Spanner。
• 为高维和Doubling度量空间中Spanner预言机的弱稀疏性（weak sparsity）和轻量化提供理论保证。
• 填补一般度量空间中带标签NNS研究的空白，此前工作仅限于具有隐式距离表示的空间。

提出的方法

• 为高维欧几里得空间和ℓp空间提出新的(τ,ρ)-LSO构造，通过增加伸展将排序数量从维度的指数级降低至次指数级。
• 引入根节点LSO和三角形LSO作为结构工具，以支持高效的带标签NNS和Spanner构造。
• 利用体积论证和ℓp空间中球体交集的几何性质，对所需排序数量进行上界估计。
• 通过在LSO导出的路径图上构建2-hop、3-hop和4-hop Spanner预言机，并结合线性空间中的稀疏Spanner构造，实现路径报告型Spanner。
• 利用Ramsey树和族嵌入（clan embeddings）在一般度量空间中实现确定性带标签NNS。
• 应用元定理将LSOs转化为弱稀疏性预言机，进而推导出(1+ϵ)-Spanner和t-Spanner的轻量化边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在允许更大伸展的前提下，为高维欧几里得空间和ℓp空间构造出次指数级排序数量的LSOs？
• RQ2 在高维空间中，LSOs的伸展与排序数量之间存在何种权衡关系？
• RQ3 在距离无法隐式表示的一般度量空间中，能否高效解决带标签NNS问题？
• RQ4 如何利用LSOs在多种度量空间中构造低轻量化、低跳数和容错的Spanner？
• RQ5 从LSOs导出的Spanner预言机的弱稀疏性和轻量化边界是否存在紧致上界？

主要发现

• 在d维欧几里得空间中，本文构造了一个(1+ϵ)-Spanner预言机，其弱稀疏性为O_d(ϵ^(-d)) · log(1/ϵ)，由此推得轻量化为O_d(ϵ^(-d-1)) · polylog(1/ϵ)。
• 对于t ∈ [4, 2√d]，本文实现了(1+ϵ)^4t-Spanner预言机，其弱稀疏性为exp(d/(2t²)) · (1+2/t²) · Õ(d^1.5 / ϵ²) · log n，轻量化阶数相同。
• 对于p ∈ [1,2]的ℓp空间，本文获得t-Spanner预言机，其弱稀疏性为exp(O(d/t^p)) · Õ(d·t) · log∗n，对应轻量化阶数相同。
• 对于p ∈ [2,∞]的ℓp空间，本文构造了4·d^(1−1/p)-Spanner预言机，其弱稀疏性为Õ(d^(2−1/p)) · log∗n，轻量化阶数相同。
• 本文首次为一般度量空间提供了基于人工标签的带标签NNS数据结构，通过Ramsey树实现确定性构造，通过族嵌入实现概率性构造。
• 本文建立了下界，表明一般度量空间中的带标签NNS需要超常数大小的标签，凸显了结构假设的必要性。