[论文解读] Lack of Unique Factorization as a Tool in Block Cipher Cryptanalysis

Nicolas T. Courtois, Aidan Patrick|arXiv (Cornell University)|May 12, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于多变量布尔多项式环中缺乏唯一分解性的新型代数密码分析方法。通过利用非唯一分解性来构造复杂多项式不变量——特别是作为七个一次多项式乘积形成的七次不变量——该方法展示了此前未见的非线性、周期性不变量攻击，且在任意轮数下成功率均为1，从根本上改变了分组密码密码分析的格局。

ABSTRACT

Linear (or differential) cryptanalysis may seem dull topics for a mathematician: they are about super simple invariants characterized by say a word on n=64 bits with very few bits at 1, the space of possible attacks is small, and basic principles are trivial. In contract mathematics offers an infinitely rich world of possibilities. If so, why is that cryptographers have ever found so few attacks on block ciphers? In this paper we argue that black-box methods used so far to find attacks in symmetric cryptography are inadequate and we work with a more recent white-box algebraic methodology. Invariant attacks can be constructed explicitly through the study of roots of the so-called Fundamental Equation (FE). We also argue that certain properties of the ring of Boolean polynomials such as lack of unique factorization allow for a certain type of product construction attacks to flourish. As a proof of concept we show how to construct a complex and non-trivial attack where a polynomial of degree 7 is an invariant for any number of rounds for a complex block cipher.

研究动机与目标

• 为解决尽管对称密码学中存在丰富的数学结构，但长期缺乏强大且非平凡的攻击方法这一问题。
• 通过倡导白盒代数方法，挑战线性和微分密码分析等黑箱方法的主导地位。
• 证明多变量布尔多项式环中缺乏唯一分解性，可实现复杂、非平凡不变量攻击的构造。
• 表明此类攻击可通过基于乘积的多项式等式系统性构造，利用多项式环中的吸收与消去性质。
• 通过将非唯一分解性识别为实现此前无法达成的不变量攻击的关键因素，开启代数密码分析的新研究方向。

提出的方法

• 作者使用基本方程（FE）来定义和分析分组密码中的多项式不变量，重点关注在任意轮数下保持不变的不变量。
• 通过将七个布尔线性多项式的乘积构造为七次多项式不变量，利用环 $ B_n $ 中的非唯一分解性，确保两种不同因式分解的等价性。
• 该方法依赖于SAGE中的形式代数验证，其中不变量多项式 $ \mu $ 与导出表达式 $ f $ 的乘积恒为零，从而证明不变量成立。
• 利用吸收性质：诸如 $ Y $ 和 $ W $ 的项因乘以 $ \mu $（作为公因式）而被消除。
• 通过符号计算验证攻击，确认输入与输出多项式的异或运算对所有输入均恒为零，从而证明不变量普遍成立。
• 该方法可推广至一般情况，表明此类不变量可独立于变量 A–H 的具体定义进行构造，仅依赖于代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 多变量布尔多项式环中缺乏唯一分解性是否能用于构造分组密码中复杂且非平凡的多项式不变量？
• RQ2 尽管数学结构丰富，为何传统黑箱密码分析方法（如线性和微分密码分析）未能发现更强大的攻击？
• RQ3 是否可能设计出不可分解为更简单线性分量的不变量攻击？此类攻击如何系统性构造？
• RQ4 多项式环中的吸收与消去现象如何促成高次、周期性不变量的出现，且成功率可达100%？
• RQ5 多变量布尔多项式环 $ B_n $ 的何种结构特性，使得存在非平凡多项式等式，而这些等式在唯一分解域中不可能成立？

主要发现

• 成功构造出一种新型七次多项式不变量，其在任意轮数的分组密码中均以概率1保持不变，揭示了一类此前未知的攻击类型。
• 该不变量由七个布尔线性多项式的乘积构成，其有效性通过SAGE形式验证，其中 $ \mu \cdot f = 0 $，确认了其消去性质。
• 该攻击与以往基于乘积的攻击（如文献[14]中所述）有本质不同，因其非循环、非Feistel结构，且复杂度更高。
• $ B_n $ 中缺乏唯一分解性使得不同多项式乘积之间可形成非平凡等式，这在唯一分解域中是不可能的。
• 该方法揭示了多项式消去与吸收事件在构造此类不变量中的核心作用，暗示了密码分析新代数基础的形成。
• 作者推测，为破解实际密码，可能需要更高次的不变量（如12次），且在更高次数下可能出现相变，从而产生越来越强大的攻击。