[论文解读] Lacunary hyperbolic groups

A. Yu. Olshanskii, Denis Osin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用 11

一句话总结

本文引入了稀疏双曲群——一类其渐近锥至少包含一棵 ℝ-树的有限生成群。作者将这些群表征为具有受控双曲常数和单射半径的双曲群的直接极限，并利用它们解决了若干开放问题：构造出一个渐近锥的基本群非平凡（同胚于树与圆的乘积）的群；通过分级小余因子性证明塔斯基怪物群和挠群可具有双曲渐近锥；并构造出一个具有次线性但非线性发散函数的群。

ABSTRACT

We call a finitely generated group lacunary hyperbolic if one of its asymptotic cones is an R-tree. We characterize lacunary hyperbolic groups as direct limits of Gromov hyperbolic groups satisfying certain restrictions on the hyperbolicity constants and injectivity radii. Using central extensions of lacunary hyperbolic groups, we solve a problem of Gromov by constructing a group whose asymptotic cone C has countable but non-trivial fundamental group (in fact C is homeomorphic to the direct product of a tree and a circle, so π_1(C)=Z). We show that the class of lacunary hyperbolic groups contains elementary amenable groups, groups with all proper subgroups cyclic, and torsion groups. This allows us to solve two problems of Drutu and Sapir, and a problem of Kleiner about groups with cut-points in their asymptotic cones. We also construct a finitely generated group whose divergence function is not linear but is arbitrarily close to being linear. This answers a question of Behrstock.

研究动机与目标

• 通过受控几何参数（双曲常数和单射半径）的双曲群的直接极限，定义并表征稀疏双曲群。
• 通过构造一个渐近锥的基本群非平凡（具体为 π₁ ≅ ℤ）的群，解决格罗莫夫的问题。
• 证明塔斯基怪物群和挠群可通过分级小余因子性表示，从而导致其渐近锥为双曲。
• 解决杜尔图与萨皮尔以及克萊纳关于渐近锥中割点的问题。
• 构造一个有限生成群，其发散函数可任意接近线性但并非线性，回答贝赫斯托克的问题。

提出的方法

• 通过双曲常数和单射半径的约束，利用双曲群的直接极限表征稀疏双曲群。
• 利用稀疏双曲群的中心扩张构造渐近锥，其基本群非平凡，具体同胚于树与圆的乘积。
• 在双曲群上引入分级小余因子性条件，以确保所有渐近锥均为双曲且局部同胚于树。
• 应用双曲群上的小余因子性格林德勒引理，控制范坎彭图并证明渐近锥的双曲性。
• 通过超滤子的超极限和渐近锥分析大尺度几何，从锥结构推导群的性质。
• 利用卡波维奇与克莱纳（附录）的结果，证明若一个渐近锥是 ℝ-树，且群为有限表示，则该群必为双曲。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限生成群能否具有非平凡基本群的渐近锥？若能，其结构如何？
• RQ2 塔斯基怪物群和挠群是否具有某种表示，使得其所有渐近锥均为双曲？
• RQ3 有限生成群的发散函数能否为次线性但非线性？其接近线性的程度如何？
• RQ4 渐近锥中割点的存在性与群的代数结构之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下，若一个群的渐近锥中存在一棵 ℝ-树，则该群必为双曲？

主要发现

• 存在一个群，其渐近锥同胚于树与圆的乘积，因此其基本群同构于 ℤ，解决了格罗莫夫的问题。
• 稀疏双曲群包括非虚拟循环的初等可约群、塔斯基怪物群和挠群。
• 塔斯基怪物群和挠群可通过分级小余因子性表示，确保其所有渐近锥均为双曲且局部同胚于树。
• 本文构造了一个有限生成群，其发散函数非线性但可任意接近线性，回答了贝赫斯托克的问题。
• 若一个有限表示群的渐近锥中存在一棵 ℝ-树，则该群必为双曲，此结论通过格罗莫夫 6.8.M 和 6.8.N 引理的改编版本得到证明。
• 有限表示性蕴含双曲性的充分条件是：凯莱图中每个大球均以受控常数均匀双曲，从而导出统一的格罗莫夫双曲性界。