[论文解读] Ladder and Subdivision of Ladder Graphs with Pendant Edges are Odd Graceful

M. I. Moussa, E. M. Badr|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2016

Graph Labeling and Dimension Problems被引用 7

一句话总结

本文引入了一类新的梯形图及其变体的奇优美标号，证明了带悬垂边的梯形图（Ln + mk₁）、其细分图（S(Ln) + mk₁）以及带悬垂边的三角形蛇图的细分图（S(Δ-k snake) + mk₁）均为奇优美图。作者通过使用算术序列和基于奇偶性的分配方法，建立了显式的标号方案，实现了满足奇优美条件的双射顶点与边标号。

ABSTRACT

The ladder graph plays an important role in many applications as Electronics, Electrical and Wireless communication areas. The aim of this work is to present a new class of odd graceful labeling for the ladder graph. In particular, we show that the ladder graph Ln with m-pendant Ln + mk1 is odd graceful. We also show that the subdivision of ladder graph Ln with m-pendant S(Ln) + mk1 is odd graceful. Finally, we prove that all the subdivision of triangular snakes (delt-k snake) with pendant edges S(delt-k snake)+ mk are odd graceful.

研究动机与目标

• 通过引入涉及带悬垂边的梯形图的新构造，扩展奇优美图的类别。
• 研究带悬垂边的细分梯形图及三角形蛇图变体的奇优美性。
• 为所提出的图族提供满足奇优美标号条件的显式标号算法。
• 将现有优美标号结果推广至结构化图族的奇优美框架。

提出的方法

• 提出一种使用算术序列和基于奇偶性的分配方法的顶点标号方案，以确保边标号为奇数。
• 通过将连续的奇数整数分配给顶点，构造Ln + mk₁的标号，使得边标号（绝对差值）为互不相同的奇数。
• 通过在边上插入顶点并相应地重新分配标号，将相同的标号策略应用于细分梯形图S(Ln) + mk₁。
• 通过适应蛇图的循环结构和新增的悬垂边，将该方法扩展至带悬垂边的三角形蛇（Δ-k蛇）。
• 通过确保所有边标号为从1到2m−1之间的互异奇数（其中m为边数），验证奇优美条件。
• 使用归纳法和构造性技术，验证所有所提出的图族的标号有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 带悬垂边的梯形图能否被标为奇优美？
• RQ2 带悬垂边的细分梯形图是否为奇优美？
• RQ3 奇优美性是否可扩展至带悬垂边的三角形蛇图的细分图？
• RQ4 何种标号策略能确保这些结构化图族中边标号为互异奇数？
• RQ5 在细分和悬垂边附加等图结构修改下，顶点与边标号的分配如何保持奇优美条件？

主要发现

• 对于所有m ≥ 1，带m条悬垂边的梯形图Ln + mk₁为奇优美图。
• 对于所有m ≥ 1，带m条悬垂边的梯形图细分图S(Ln) + mk₁为奇优美图。
• 对于所有m ≥ 1，带m条悬垂边的三角形蛇图（Δ-k蛇）的细分图S(Δ-k snake) + mk₁均为奇优美图。
• 作者提供了显式的标号构造，实现了无重复的双射奇边标号。
• 标号方案在所有测试的图族中保持一致，并通过设计满足奇优美条件。
• 研究结果将已知的奇优美图类别扩展至包含带悬垂边的梯形图和蛇图的结构化变体。