[论文解读] Lagrange approximation of transfer operators associated with holomorphic data

Oscar F. Bandtlow, Julia Slipantschuk|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

Quantum chaos and dynamical systems被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于拉格朗日插值的谱逼近方法，用于处理与全纯数据相关的转移算子，实现了特征值和特征函数的指数收敛。该方法利用配点和多项式插值构造矩阵逼近算子，收敛速率由底层动力系统的复收缩比决定。

ABSTRACT

We show that spectral data of transfer operators given by holomorphic data can be approximated using an effective numerical scheme based on Lagrange interpolation. In particular, we show that for one-dimensional systems satisfying certain complex contraction properties, spectral data of the approximants converge exponentially to the spectral data of the transfer operator with the exponential rate determined by the respective complex contraction ratios of the underlying systems. We demonstrate the effectiveness of this scheme by numerically computing eigenvalues of transfer operators arising from interval and circle maps, as well as Lyapunov exponents of (positive) random matrix products and iterated function systems, based on examples taken from the literature.

研究动机与目标

• 开发一种针对全纯动力系统中产生的转移算子的数值高效谱逼近方法。
• 克服传统基于投影的方法（如乌拉姆方法）收敛速率次优的问题。
• 利用在配点上的拉格朗日插值，建立特征值和特征函数的指数收敛性。
• 提供一种实用且可实现的算法，用于计算谱数据，包括李雅普诺夫指数和稳态测度。
• 通过区间映射、圆周映射、随机矩阵乘积和迭代函数系统等数值例子，展示该方法的有效性。

提出的方法

• 该方法采用拉格朗日插值定义投影算子 $\Pi_n$，将函数映射为在 $n$ 个配点处插值的 $n$ 次多项式。
• 转移算子 $\mathcal{L}$ 被逼近为 $\mathcal{L}_n = \Pi_n \mathcal{L} \Pi_n$，通过在配点 $x_i$ 处求值 $\mathcal{L}e_j$ 表示为 $n \times n$ 矩阵。
• 配点选择为切比雪夫多项式的根或椭圆轮廓上的点，以确保谱收敛。
• 该方案通过配点法或谱伽辽金法实现，避免了伽辽金法或有限截断法所需的昂贵积分与高阶导数运算。
• 该方法利用映射分量的全纯延拓，定义椭圆区域 $E_{\gamma,R}$，从而实现复收缩分析。
• 通过逼近算子 $\mathcal{L}_n$ 的特征泛函，计算关于不变测度的积分与李雅普诺夫指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉格朗日插值能否为具有全纯数据的转移算子谱逼近提供指数收敛？
• RQ2 拉格朗日-切比雪夫配点法的收敛速率与经典方法（如乌拉姆的有限截断法）相比如何？
• RQ3 复收缩比在决定特征值与特征函数指数收敛速率中起什么作用？
• RQ4 该方法能否有效计算具有全纯生成元的迭代函数系统的李雅普诺夫指数与稳态测度？
• RQ5 该方法在具有全纯延拓的区间映射与圆周映射的转移算子上，适用范围如何？

主要发现

• 逼近算子的谱数据以指数速度收敛至完整转移算子的谱数据，收敛速率由底层系统的复收缩比 $r/R$ 决定。
• 对于区间映射例子，其中 $\Phi_1(x) = \frac{1}{6}\sin(\pi x/4) + \frac{1}{4}$，$\Phi_2(x) = \frac{1}{3}\sin(\pi x/4) + \frac{2}{3}$，在 $n=100$ 时李雅普诺夫指数计算达到 89 位有效数字，与基于周期 18 轨道的先前结果一致。
• 通过数值计算，最优收缩比为 $r/R \approx 0.4138$，对应李雅普诺夫指数逼近的指数收敛速率为 $O((0.4138)^n)$。
• 对于圆周映射例子，该方法实现了指数收敛，收缩比为 $r/R \approx 0.53$，与理论预测一致。
• 在全纯性假设下，该方法优于经典乌拉姆型方法（仅具有 $O(\log n / n)$ 收敛速率），实现了指数收敛。
• 该方案在实际中高效，避免了数值积分与高阶导数运算，可通过切比雪夫-高斯求积法实现矩阵计算。