[论文解读] Lagrange Multipliers and Third Order Scalar-Tensor Field Theories

Gregory W. Horndeski|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种使用拉格朗日乘子的变分框架，用于推导四维时空中的三阶标量-张量场论。通过约束拉格朗日量和度规导数，推导出对标量场为二阶、对度规为三阶的场方程，得到九种类别的此类理论，包括共形不变子类，并分析了非共形变换的影响以及与标量-张量-联络理论的联系。

ABSTRACT

In a space of 4-dimensions, I will examine constrained variational problems in which the Lagrangian, and constraint scalar density, are concomitants of a (pseudo-Riemannian) metric tensor and its first two derivatives. The Lagrange multiplier for these constrained extremal problems will be a scalar field. For suitable choices of the Lagrangian, and constraint, we can obtain Euler-Lagrange equations which are second order in the scalar field and third order in the metric tensor. The effect of disformal transformations on the constraint Lagrangians, and their generalizations, is examined. This will yield other second order scalar-tensor Lagrangians which yield field equations which are at most of third order. No attempt is made to construct all possible third order scalar-tensor Euler-Lagrange equations in a 4-space, although nine classes of such field equations are presented. Two of these classes admit subclasses which yield conformally invariant field equations. A few remarks on scalar-tensor-connection theories are also presented.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的变分方法，用于在四维时空中构建三阶标量-张量场论。
• 识别拉格朗日量和度规导数的约束条件，以获得对标量场为二阶、对度规为三阶的场方程。
• 对九种不同的此类场方程类别进行分类，包括共形不变子类。
• 分析非共形变换对约束拉格朗日量及其推广的影响。
• 探索与标量-张量-联络理论的联系，作为更广泛理论扩展的途径。

提出的方法

• 使用带标量场作为拉格朗日乘子的约束变分法，构建由度规及其一阶和二阶导数构成的拉格朗日密度。
• 将作用量表示为约束拉格朗日量的积分，其中约束为从度规及其导数导出的标量密度。
• 从约束作用量推导欧拉-拉格朗日方程，得到混合阶数的场方程：对标量场为二阶，对度规张量为三阶。
• 对约束拉格朗日量应用非共形变换，以生成新的二阶标量-张量理论，其场方程最多为三阶。
• 分析所得场方程的结构，并识别其成为共形不变的条件。
• 探索向标量-张量-联络理论的推广，建议一个更广泛的理论框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在四维时空中，使用标量拉格朗日乘子的约束变分原理可导出哪种类别的标量-张量场论？
• RQ2 非共形变换如何影响此类理论中所得场方程的结构和阶数？
• RQ3 所导出的场方程中，哪些类别包含共形不变子类，其条件为何？
• RQ4 从该框架中涌现出的九种不同类别的三阶标量-张量场方程是什么？
• RQ5 这些场方程如何与或推广现有的标量-张量-联络理论？

主要发现

• 通过使用拉格朗日乘子的约束变分原理，系统地推导出九种类别的三阶标量-张量场方程。
• 九种类别中的两类包含可产生共形不变场方程的子类，表明存在特殊的对称性结构。
• 非共形变换将约束拉格朗日量映射为新的二阶标量-张量拉格朗日量，其场方程最多保持三阶。
• 该方法成功生成了混合阶数的场方程：对标量场为二阶，对度规张量为三阶。
• 该框架提供了一致的方法来构建高阶标量-张量理论，且不引入鬼度自由度，因为方程在标量场中仍保持二阶。
• 分析表明，该理论自然可推广至标量-张量-联络理论，为修正引力理论的进一步探索开辟了新途径。