[论文解读] Lagrangian and Noncommutativity

Ignacio Cortese, J. Antonio Garcı́a|ArXiv.org|May 7, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过引入辅助变量和达布变换（Darboux transformations），解决了从非对易配置空间变量的一阶系统构造二阶拉格朗日量的逆问题。推导出一个形式上的非局部拉格朗日量，可重现投影后的二阶动力学；并为非对易谐振子构造了一个等价的局部二阶拉格朗日量，通过对称性和边界条件匹配验证了其一致性。

ABSTRACT

We analyze the relation between the concept of auxiliary variables and the Inverse problem of the calculus of variations to construct a Lagrangian from a given set of equations of motion. The problem of the construction of a consistent second order dynamics from a given first order dynamics is investigated. At the level of equations of motion we find that this reduction process is consistent provided that the mapping of the boundary data be taken properly into account. At the level of the variational principle we analyze the obstructions to construct a second order Lagrangian from a first order one and give an explicit formal non-local Lagrangian that reproduce the second order projected dynamics. Finally we apply our ideas to the so called ``Noncommutative classical dynamics''.

研究动机与目标

• 解决从具有非对易配置空间坐标的一阶系统构造二阶拉格朗日量的逆问题。
• 研究在一阶动力学约化为二阶动力学时，方程运动与变分原理层面的一致性。
• 解决在非对易系统中，当动量不是辅助变量时，构造局部二阶拉格朗日量的障碍。
• 为一般非对易系统提供一个形式上的非局部拉格朗日量，使其方程运动可重现投影后的二阶动力学。
• 通过达布变换和辅助变量技术，为非对易谐振子构造一个等价的局部二阶拉格朗日量。

提出的方法

• 应用变分法的逆问题，确定给定一阶运动方程源于拉格朗日量的条件。
• 识别一阶系统中的辅助变量，并通过其消去，导出配置空间中的二阶方程。
• 利用达布变换将非对易动量映射为辅助变量，从而实现二阶拉格朗日量的直接构造。
• 推导出一个形式上的非局部拉格朗日量，其方程运动可重现二阶运动方程，前提是正确处理边界条件。
• 通过变量变换使动量成为辅助变量，然后消去，对非对易谐振子应用该方法，获得闭合形式的二阶拉格朗日量。
• 通过对称性和显式解匹配，验证所得二阶方程与原系统的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当动量不是辅助变量时，能否从一阶非对易动力系统构造出一致的二阶拉格朗日量？
• RQ2 在具有非对易配置空间坐标的系统中，从一阶系统构造局部二阶拉格朗日量的主要障碍是什么？
• RQ3 如何推导出一个形式上的非局部拉格朗日量，使其方程运动可重现投影后的二阶动力学？
• RQ4 能否使用达布变换使非对易系统中的动量成为辅助变量，从而实现二阶拉格朗日量的构造？
• RQ5 在正确应用边界条件时，通过约化得到的二阶动力学是否与原始的一阶动力学等价？

主要发现

• 当正确考虑边界条件时，一阶动力学约化为二阶方程在方程运动层面是一致的，通过原始系统与约化系统解的匹配得到验证。
• 构造出一个形式上的非局部拉格朗日量，其方程运动与原始一阶系统等价，可重现投影后的二阶动力学。
• 对于非对易谐振子，通过一个使动量成为辅助变量的达布变换，显式导出了一个局部二阶拉格朗日量。
• 所得二阶拉格朗日量产生的方程运动与原始二阶系统成比例，通过对称性确认了等价性。
• 非对易谐振子的解依赖于参数θ，体现了非平凡的非对易依赖性。
• 证明了达布变换（88）是运动方程的对称性，验证了原始与变换后二阶系统的等价性。