[论文解读] Lagrangian Cobordism and Fukaya Categories

Paul Biran, Octav Cornea|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文在辛流形中的几何拉格朗日子 bordism 与导出 Fukaya 类别的迭代三角分解之间建立了函子性对应关系。通过构造一个 bordism 的张量范畴与一个三角化解析范畴，本文构建了一个从 bordism 到导出 Fukaya 类别的张量函子，证明了任意拉格朗日子 bordism 均诱导出一序列的正合三角形，从而将正向端点嵌入由负向端点生成的三角化子范畴中。

ABSTRACT

Given a symplectic manifold M, we consider a category with objects finite ordered families of Lagrangian submanifolds of M (subject to certain additional constraints) and with morphisms Lagrangian cobordisms relating them. We construct a functor that maps this category to a variant of the derived Fukaya category of M in a way that takes into account the triangulated structure of the latter.

研究动机与目标

• 在几何拉格朗日子 bordism 与导出 Fukaya 类别的三角化结构之间建立函子性、代数性的对应关系。
• 通过证明其三角化结构自然源自 bordism 几何，解决导出 Fukaya 类别非几何性的问题。
• 构造一个拉格朗日子 bordism 的张量范畴 Cob(M) 与一个编码迭代正合三角形的目标范畴 T SDFuk(M)。
• 证明导出 Fukaya 类别通过一个典范函子 eF 捕获了 bordism 的拓扑与代数结构。

提出的方法

• 定义一个范畴 Cob(M)，其对象为拉格朗日子的有限有序族，态射为具有多重端点的可允许拉格朗日子 bordism 的同伦类。
• 将范畴 T SDFuk(M) 构造为源自导出 Fukaya 类别的三角化解析范畴，通过迭代正合三角形参数化解析。
• 利用 A∞-范畴中的 Yoneda 嵌入与映射锥构造，在导出 Fukaya 类别中代数地定义正合三角形。
• 建立一个张量函子 eF: Cob(M) → T SDFuk(M)，将每个拉格朗日子映射到自身，将每个 bordism 映射到一序列正合三角形。
• 利用 A∞-范畴的同调单位性与三角化闭包性质，确保函子尊重导出范畴的代数结构。
• 应用 Gromov-Witten 理论与 J-全纯曲线计数，确保几何 bordism 数据能一致地提升至链级结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉格朗日子 bordism 如何在导出 Fukaya 类别中被代数编码？
• RQ2 一个 bordism 在导出 Fukaya 类别中诱导出的精确代数结构是什么？
• RQ3 导出 Fukaya 类别的三角化结构是否函子性地源自几何 bordism？
• RQ4 bordism 的复合是否对应于导出范畴中三角分解的细化？
• RQ5 是否存在一个从几何 bordism 范畴到导出范畴解析范畴的典范张量函子？

主要发现

• 主要结果，定理 B，建立了张量函子 eF: Cob(M) → T SDFuk(M)，将每个拉格朗日子映射到自身，将每个 bordism 映射到一序列正合三角形。
• 定理 A 作为推论成立：任意具有 k 个负向端点 L1,…,Lk 与一个正向端点 L 的拉格朗日子 bordism 在 DFuk(M) 中诱导出 k−1 个正合三角形，表明 L 属于由 L1,…,Lk 生成的三角化子范畴。
• 该构造表明，bordism 的串联对应于三角分解的细化，为代数解析提供了几何实现。
• 导出 Fukaya 类别 DFuk(M) 捕获了由 bordism 诱导的三角化结构，使抽象的三角化闭包具有几何意义。
• A∞-范畴中的 Yoneda 嵌入与映射锥构造为从 bordism 数据实现正合三角形提供了代数工具。
• 该框架独立于辅助选择（如几乎复结构），确保函子 eF 定义良好且在同伦下不变。