[论文解读] Lagrangian dynamics of the Navier-Stokes equation

Albertus Sulaiman, L. T. Handoko|ArXiv.org|Aug 15, 2005

Geotechnical and Geomechanical Engineering参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于流体场对偶于规范场的规范不变拉格朗日形式，其中势能 $\mathcal{A}_\mu = (\Phi, -\vec{v})$ 通过欧拉-拉格朗日方程重构流体动力学。关键结果是，孤立子与流体介质的相互作用由非线性克莱因-戈尔登方程描述，得到的孤立子解因流体流动而衰减，类似于量子电动力学和金兹堡-朗道理论。

ABSTRACT

Most researches on fluid dynamics are mostly dedicated to obtain the solutions of Navier-Stokes equation which governs fluid flow with particular boundary conditions and approximations. We propose an alternative approach to deal with fluid dynamics using the lagrangian. We attempt to develop a gauge invariant lagrangian which reconstructs the Navier-Stokes equation through the Euler-Lagrange equation. The lagrangian consists of gauge boson field $\A_μ$ with appropriate content describing the fluid dynamics, i.e. $\A_μ= (Φ, -\uv)$. An example of applying the lagrangian to the interaction of fluid in a solitonic medium is also given.

研究动机与目标

• 开发一种规范不变的流体动力学拉格朗日形式，通过欧拉-拉格朗日形式化重构纳维-斯托克斯方程。
• 通过将涡度和兰姆矢量的向量微分恒等式应用于纳维-斯托克斯方程，推导理想不可压缩流体的麦克斯韦型方程，建立流体动力学与电磁学的场论类比。
• 在静态条件下，使用类似于量子电动力学和金兹堡-朗道理论的拉格朗日量，对孤立子-流体相互作用进行建模。
• 推导并求解一个变系数非线性克莱因-戈尔登方程，用于描述流体介质中孤立子的传播。

提出的方法

• 将流体场定义为规范场 $\mathcal{A}_\mu = (\Phi, -\vec{v})$，其中 $\Phi = \frac{1}{2}\vec{v}^2 + \frac{P}{\rho}$，以构造类似于阿贝尔规范理论的拉格朗日量。
• 通过在涡度和兰姆矢量形式下对纳维-斯托克斯方程应用散度和旋度运算，推导理想不可压缩流体的麦克斯韦型方程。
• 构建规范不变的拉格朗日密度 $\mathcal{L} = -\frac{1}{4}\mathcal{F}_{\mu\nu}\mathcal{F}^{\mu\nu} + \frac{1}{2}(\mathcal{D}_\mu\phi)(\mathcal{D}^\mu\phi) + \frac{m^2}{2}\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4$，以描述孤立子-流体相互作用。
• 对拉格朗日量应用欧拉-拉格朗日方程，推导出一维变系数非线性克莱因-戈尔登方程 $\frac{d^2\phi}{dx^2} - \gamma(x)\phi + \frac{\lambda}{3!}\phi^3 = 0$。
• 使用积分技巧求解该方程：将方程乘以 $d\phi/dx$，积分，并施加边界条件 $\lim_{x\to\pm\infty}\phi = 0$，得到孤立子解。
• 获得精确的孤立子解 $\phi(x) = A \text{sech}(\Lambda x)$，其中 $A = \frac{12\gamma}{\lambda}$，$\Lambda = \frac{12\sqrt{3}\gamma}{\lambda^{3/2}}$，表明由于流体流动导致的衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用流体场对偶于规范势的规范不变拉格朗日量，从纳维-斯托克斯方程中推导出其运动方程？
• RQ2 通过向量微分恒等式，理想流体的麦克斯韦型方程如何从纳维-斯托克斯方程中自然涌现？
• RQ3 描述孤立子-流体相互作用的拉格朗日量形式为何？它与量子场论有何关联？
• RQ4 流体流动如何影响孤立子传播？是否能通过一个变系数非线性克莱因-戈尔登方程进行建模？
• RQ5 在流体介质中，孤立子解的解析形式为何？其衰减特性如何体现？

主要发现

• 成功地通过规范不变拉格朗日量使用 $\mathcal{A}_\mu = (\Phi, -\vec{v})$（其中 $\Phi = \frac{1}{2}\vec{v}^2 + \frac{P}{\rho}$）重构了纳维-斯托克斯方程作为运动方程。
• 孤立子-流体相互作用的拉格朗日量在形式上与玻色子的量子电动力学完全相同，其中规范协变导数为 $\mathcal{D}_\mu = \partial_\mu - ig\mathcal{A}_\mu$。
• 在静态极限下，拉格朗日量退化为金兹堡-朗道形式，表明其与超导体理论存在关联。
• 在一维恒定速度流 $U$ 条件下，系统产生一个非线性克莱因-戈尔登方程，其解为 $\phi(x) = A \text{sech}(\Lambda x)$，其中 $A = \frac{12\gamma}{\lambda}$，$\Lambda = \frac{12\sqrt{3}\gamma}{\lambda^{3/2}}$。
• 孤立子解表现出指数衰减，证实流体流动导致孤立波传播的衰减，且衰减强度取决于流体速度和耦合参数。
• 由于可积性条件 $\lim_{x\to\pm\infty}\phi = 0$，积分常数被设为零，从而确保孤立子解的局域化形态。