[论文解读] Lagrangian field theories on Lie groupoids

Joris Vankerschaver, F. Cantrijn|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 2

一句话总结

本文提出了一种基于李群胚作为目标空间的离散经典场论的几何框架，通过变分原理表述场方程，并证明其具有多辛结构。该方法推广了已知的离散多辛场论，并得出新结果，包括离散李-泊松方程和离散约化理论，与离散微分几何及格点 gauge 理论相关联。

ABSTRACT

We present a geometric framework for discrete classical field theories, where fields are modeled as “morphisms ” defined on a discrete grid in the base space, and take values in a Lie groupoid. We describe the basic geometric setup and derive the field equations from a variational principle. We also show that the solutions of these equations are multisymplectic in the sense of Bridges and Marsden. The groupoid framework employed here allows us to recover not only some previously known results on discrete multisymplectic field theories, but also to derive a number of new results, most notably a notion of discrete Lie-Poisson equations and discrete reduction. In a final section, we establish the connection with discrete differential geometry and gauge theories on a lattice. 1

研究动机与目标

• 开发一种使用李群胚作为场值空间的离散经典场论的几何框架。
• 在此离散几何设定下，从变分原理推导场方程。
• 确立解的多辛性质，推广 Bridges-Marsden 框架。
• 通过引入离散李-泊松方程，扩展已知的离散多辛场论结果。
• 探讨与离散微分几何及格点 gauge 理论的联系。

提出的方法

• 将场建模为从离散基空间网格到李群胚的态射，从而实现对场构型的几何描述。
• 在取值于群胚的场上使用离散变分原理构造作用量泛函。
• 将离散场方程作为作用量的临界点推导，确保与群胚结构的一致性。
• 证明解满足 Bridges 和 Marsden 意义下的离散多辛守恒律。
• 通过利用群胚框架内的对称性，构建离散约化过程。
• 通过几何一致性，建立该框架与离散微分几何及格点 gauge 理论之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用李群胚作为目标空间来表述离散经典场论？
• RQ2 在该群胚设定下，生成一致场方程的离散变分原理是什么？
• RQ3 这些场方程的解是否满足离散多辛结构？
• RQ4 能否从该框架中推导出离散李-泊松方程？
• RQ5 该框架如何与离散微分几何及格点 gauge 理论相关联？

主要发现

• 本文建立了基于李群胚的离散场论的变分表述，通过作用量泛函的临界点导出一致的场方程。
• 证明了解在 Bridges 和 Marsden 意义下具有多辛性，将连续多辛结构推广至离散设定。
• 推导出一类新的离散李-泊松方程，将泊松约化扩展至离散与群胚基的语境。
• 构建了离散约化过程，允许在群胚框架内实现对称性约化，类似于场论中的连续约化。
• 该框架与离散微分几何及格点 gauge 理论建立了联系，表明其在数值和格点场论中具有更广泛的应用潜力。
• 该方法统一并推广了先前已知的离散多辛场论结果，为该领域提供了更全面的几何基础。