[论文解读] Lagrangian formalism for tensor fields

Sawa Manoff|ArXiv.org|Jul 21, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文为配备有不同协变与逆变仿射联络及度量的可微流形上的张量场，发展了一套协变拉格朗日形式体系（称为$(\overline{L}_n,g)$-空间）。提出了两种方法——MLPD（使用偏导数）与MLCD（使用协变导数），并通过泛函变分与李变分推导出规范的欧拉-拉格朗日方程与能量-动量张量，建立了协变诺特定理恒等式。主要贡献在于构建了一个完全协变的场论框架，其独立于仿射联络，确保规范不变性。

ABSTRACT

The Lagrangian formalism for tensor fields over differentiable manifolds with contravariant and covariant affine connections (whose components differ not only by sign) and metrics [$(\bar{L}_n,g)$-spaces] is considered. The functional variation and the Lie variation of a Lagrangian density, depending on components of tensor fields (with finite rank) and their first and second covariant derivatives are established. A variation operator is determined and the corollaries of its commutation relations with the covariant and the Lie differential operators are found. The canonical (common) method of Lagrangians with partial derivatives (MLPD) and the method of Lagrangians with covariant derivatives (MLCD) are outlined. They differ from each other by the commutation relations the variation operator has to obey with the covariant and the Lie differential operator. The canonical and covariant Euler-Lagrange equations are found as well as their corresponding $(\bar{L}_n,g)$-spaces. The energy-momentum tensors are considered on the basis of the Lie variation and the covariant Noether identities.

研究动机与目标

• 将张量场的拉格朗日形式体系从(伪)黎曼空间推广至具有不同协变与逆变仿射联络的$(\overline{L}_n,g)$-空间。
• 通过引入使用协变导数的完全协变方法（MLCD），克服基于偏导数的标准拉格朗日场论的局限性。
• 推导出与仿射联络选择无关且在规范变换下不变的、一致的欧拉-拉格朗日方程与能量-动量张量。
• 基于拉格朗日密度的李变分，建立协变诺特定理恒等式，从而几何一致地推导出守恒流与能量-动量张量。

提出的方法

• 将拉格朗日密度$\mathbf{L}$定义为权$q=1/2$的张量密度，其依赖于张量场及其一阶与二阶协变导数。
• 定义拉格朗日密度的泛函变分与李变分，并引入一个与李微分算子及协变微分算子均对易的变分算子。
• 提出两种不同方法：使用偏导数的拉格朗日标准方法（MLPD）与使用协变导数的协变拉格朗日方法（MLCD），二者在与微分算子的对易关系上存在差异。
• 通过作用量的泛函变分推导出规范的欧拉-拉格朗日方程，其在具有不同协变与逆变联络的$(\overline{L}_n,g)$-空间上成立。
• 通过拉格朗日密度的李变分构造能量-动量张量，从而导出协变诺特定理恒等式。
• 推导出度量张量场$g_{ij}$的对称与广义规范能量-动量张量的显式表达式，包含曲率与挠率项的贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将标准张量场拉格朗日形式体系推广至具有非对称仿射联络及度量的流形？
• RQ2 在从拉格朗日量推导场方程时，标准方法（MLPD）与协变方法（MLCD）有何区别？
• RQ3 在$(\overline{L}_n,g)$-空间背景下，欧拉-拉格朗日方程与能量-动量张量如何通过李变分变换？
• RQ4 能否构建一个完全协变的场论，使其独立于仿射联络的选择并保持规范不变性？
• RQ5 能量-动量张量在拉格朗日量及其导数的表达下，其显式形式为何？

主要发现

• MLCD方法所导出的场方程与守恒量独立于仿射联络，确保规范不变性与几何一致性。
• 通过拉格朗日密度的泛函变分推导出规范的欧拉-拉格朗日方程，其在具有不同协变与逆变联络的$(\overline{L}_n,g)$-空间上成立。
• 能量-动量张量通过拉格朗日密度的李变分构造，导出包含曲率与挠率贡献的协变诺特定理恒等式。
• 显式推导出对称贝尔林丹能量-动量张量$_{sg}T_i^j$与广义规范张量$_g\overline{\theta}_i^j$的表达式，其涉及拉格朗日量对度量及其协变导数的导数。
• 与欧拉-拉格朗日方程相关的能量-动量张量$_g\overline{Q}_i^j$与泛函导数$\delta_g L / \delta g_{\underline{j}k}$成正比，其校正项包含曲率与挠率。
• 广义规范能量-动量张量$_g\overline{\theta}_i^j$包含度量联络、曲率$R^l{}_{jik}$与挠率$T_{ik}^l$的贡献项，表明守恒流具有几何依赖性。