[论文解读] Lagrangian Mean Curvature flow for entire Lipschitz graphs II

Albert Chau, Jingyi Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文在 $\mathbb{C}^n$ 中整个 Lipschitz 图上，针对三种不同初始 Hessian 条件（Hessian 一致有界、弱凸性或大超临界拉格朗日相位）建立了完全非线性拉格朗日平均曲率流方程解的长期存在性与精确估计。关键贡献在于证明了即使初始数据仅为 $C^{1,1}$，解仍可全局存在并满足一致的曲率与导数衰减估计，方法是将坐标旋转、逼近与最大值原理论证相结合，应用于抛物型 Monge-Ampère 型方程。

ABSTRACT

We prove longtime existence and estimates for solutions to a fully nonlinear Lagrangian parabolic equation with locally $C^{1,1}$ initial data $u_0$ satisfying either (1) $-(1+η) I_n\leq D^2u_0 \leq (1+η)I_n$ for some positive dimensional constant $η$, (2) $u_0$ is weakly convex everywhere or (3) $u_0$ satisfies a large supercritical Lagrangian phase condition.

研究动机与目标

• 建立完全非线性抛物方程 $\partial_t u = \sum_{i=1}^n \arctan \lambda_i$ 在 $C^{1,1}$ 初始数据 $u_0$ 下的长期存在性与正则性。
• 将先前关于拉格朗日平均曲率流的结果扩展至 Hessian 有界条件 $-(1+\eta)I_n \leq D^2u_0 \leq (1+\eta)I_n$ 中 $\eta$ 不严格为负的情形。
• 证明解即使在初始数据非严格凸或 Hessian 无界时，仍能保持有利的 Hessian 有界性与衰减估计。
• 解决当初始数据仅为 $C^{1,1}$ 且相位条件为临界或超临界时，应用最大值原理技术的挑战。
• 表明拉格朗日相位条件 $\sum \arctan \lambda_i \geq (n-1)\pi/2$ 在流中被保持，从而导出古解的分类结果。

提出的方法

• 施加一个依赖于小参数 $\sigma_0$ 的坐标旋转，将初始 Hessian 有界性转化为与文献 [13] 定理 1.1 兼容的形式，从而可应用已有估计。
• 通过光滑化构造初始数据旋转后的光滑逼近序列 $v^k_0$，在极限下保持 Hessian 与相位条件。
• 利用相位集的凸性及黎曼和逼近，证明对每个 $k$，相位条件 $\Theta(D^2v^k_0) \geq (n-1)\pi/2 - n\sigma_0$ 在流中被保持。
• 对每个 $v^k_0$ 应用文献 [13] 的定理 1.1，得到所有 $l \geq 2$ 的 $C^l$ 范数一致有界，且满足导数衰减估计 $\sup |D^l u| \leq C_l / t^{l-2}$。
• 利用逼近解 $w^k(p,t)$ 在 $\mathbb{R}^n \times (0,\infty)$ 的紧子集上光滑收敛，得到极限解 $w(p,t)$，其满足相同估计。
• 应用文献 [2] 中的强最大值原理与唯一性，证明若在某点相位条件取等，则 $u_0$ 必为二次型，从而实现古解的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Hessian 仅一致有界（而非 $\eta$ 框架下严格为负）时，能否为 $C^{1,1}$ 初始数据的拉格朗日平均曲率流建立长期存在性与导数衰减估计？
• RQ2 对于 Hessian 可能无界的 $C^{1,1}$ 初始数据，相位条件 $\sum \arctan \lambda_i \geq (n-1)\pi/2$ 是否在流中被保持？
• RQ3 若初始数据在某点满足超临界相位条件取等，会发生什么？这是否强制初始数据为二次型？
• RQ4 当相位算子非凹（如凸情形）时，能否有效应用于 $C^{1,1}$ 初始数据的最大值原理？
• RQ5 在证明流的曲率与导数估计时，如何处理初始 Hessian 缺乏光滑性的问题？

主要发现

• 对于满足 $-(1+\eta)I_n \leq D^2u_0 \leq (1+\eta)I_n$ 的 $C^{1,1}$ 初始数据，其中小参数 $\eta(n) > 0$，流存在唯一全局光滑解，且对所有 $t > 0$，有 $D^2u$ 一致有界于 $\sqrt{3}I_n$。
• 对所有 $l \geq 3$，有阶导数满足精确衰减估计 $\sup |D^l u(x,t)|^2 \leq C_l / t^{l-2}$，其中 $C_l$ 仅依赖于 $l$。
• 梯度 $Du(x,t)$ 在 $t=0$ 处关于时间具有指数为 $1/2$ 的一致 Hölder 连续性，即使初始数据仅为 $C^{1,1}$。
• 对于弱凸初始数据，解在所有 $t > 0$ 时仍保持弱凸性，且要么 $D^2u > 0$ 处处成立，要么解可分解为更少变量的凸部分。
• 若初始数据满足 $\sum \arctan \lambda_i \geq (n-1)\pi/2$，则该相位条件对所有 $t \geq 0$ 被保持，且在某点取等意味着 $u_0$ 为二次型。
• 第二基本形式及其协变导数满足 $|\nabla^l_t A(x,t)|^2 \leq C_l / t^{l+1}$，对所有 $l \geq 0$ 成立，确保曲率量的快速衰减。