[论文解读] Lagrangian Mechanics on Generalized Lie Algebroids

Constantin M. Arcuş|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2011

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用 5

一句话总结

该论文通过在广义李代数丛上引入 (ρ, η)-系统的一般化框架，解决了拉格朗日力学中的威斯坦问题。它为正则拉格朗日量和外力构造了一个典范的 (ρ, η)-半喷射，并通过 Poincaré-Cartan 2-形式推导出欧拉-拉格朗日型方程。其主要贡献是利用李代数丛的广义切从丛，提出了一种新的威斯坦问题解法，将芬斯勒几何从标准李代数丛推广至任意广义李代数丛。

ABSTRACT

A solution for the Weinstein's Problem in the general framework of generalized Lie algebroids is the target of this paper. We present the mechanical systems called by use, mechanical (?; ?)-systems, Lagrange mechanical (?; ?)-systems or Finsler mechanical (?; ?)-systems and we develop their geometries. We obtain the canonical (?; ?)-semi(spray) associated to a mechanical (?; ?)-system. The Lagrange mechanical (?; ?)-systems are the spaces necessary to develop a Lagrangian formalism. We obtain the (?; ?)-semispray associated to a regular Lagrangian L and external force Fe and we derive the equations of Euler-Lagrange type. A new point of view over classical and modern results about Lagrangian Mechanics are presented.

研究动机与目标

• 在李代数丛上直接发展拉格朗日形式体系，类似于克莱因的形式体系，以解决威斯坦问题。
• 通过 (ρ, η)-系统将拉格朗日力学推广至广义李代数丛的框架。
• 定义并表征与正则拉格朗日量和外力相关的 (ρ, η)-半喷射与 (ρ, η)-联络。
• 将芬斯勒几何从标准李代数丛推广至任意广义李代数丛。

提出的方法

• 引入机械 (ρ, η)-系统与拉格朗日力学 (ρ, η)-系统，作为广义李代数丛上的基础几何结构。
• 通过方程 iS(ωL) = −d(ρ,η)TE(EL) 的解定义 (ρ, η)-半喷射，其中 ωL 为 Poincaré-Cartan 2-形式，EL 为能量函数。
• 利用局部可逆的 Bv-同构 (g, h) 定义曲线的 (g, h)-提升，并将其与欧拉-拉格朗日方程的解联系起来。
• 从拉格朗日量与 Bv-同构 (g, h) 推导出 (ρ, η)-联络分量 (ρ, η)Γa_c，推广了向量丛上仿射联络的概念。
• 将形式体系应用于李代数丛的广义切从丛，获得一种与 Martinez 方法不同的威斯坦问题新解法。
• 证明了典范 (ρ, η)-半喷射的积分曲线正是满足欧拉-拉格朗日型方程 (9.10) 的 (g, h)-提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在广义李代数丛上直接发展拉格朗日形式体系，从而解决威斯坦问题？
• RQ2 广义李代数丛上机械 (ρ, η)-系统的几何结构是什么？
• RQ3 与正则拉格朗日量和外力相关的典范 (ρ, η)-半喷射如何定义？其性质为何？
• RQ4 在此形式体系中，曲线的 (g, h)-提升与欧拉-拉格朗日方程的解之间有何关系？
• RQ5 能否利用此框架自然地将芬斯勒几何从标准李代数丛推广至任意广义李代数丛？

主要发现

• 典范 (ρ, η)-半喷射 SL(g, h) 由方程 iS(ωL) = −d(ρ,η)TE(EL) 的解唯一确定，其显式分量形式涉及能量函数与拉格朗日量的导数。
• 与拉格朗日力学 (ρ, η)-系统相关的 (ρ, η)-联络 (ρ, η)Γa_c 由拉格朗日量与 Bv-同构 (g, h) 推导得出，推广了向量丛上的仿射联络概念。
• 典范 (ρ, η)-半喷射的积分曲线恰好是满足欧拉-拉格朗日型方程 (9.10) 的 (g, h)-提升。
• 当 Fe = 0 且 (ρ, η) = (IdTM, IdM) 时，该形式体系恢复了 Bucataru 与 Miron (2005) 的典范半喷射，验证了与已知结果的一致性。
• 对于芬斯勒基本函数 F，流形 M 上的测地线被表征为：其 (g, h)-提升满足欧拉-拉格朗日方程 (9.10)，从而推广了经典芬斯勒几何。
• 该理论通过李代数丛的广义切从丛提供了一种新的威斯坦问题解法，与 Martinez 的基于延拓的方法不同。