[论文解读] Lagrangian perturbations and the matter bispectrum I: fourth-order model

Cornelius Rampf, Thomas Buchert|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2012

Cosmology and Gravitation Theories被引用 1

一句话总结

本文在平坦、非相对论性、零宇宙学常数的宇宙中发展了四阶拉格朗日微扰理论，推导了在初始位置极限下至四阶的位移场。它建立了拉格朗日微扰理论与欧拉微扰理论在密度对比和速度发散上至四阶的精确等价性，从而实现了对重加权物质三谱函数的下一阶校正。

ABSTRACT

We investigate the Lagrangian perturbation theory of a homogeneous and isotropic universe in the non-relativistic limit, and derive the solutions up to the fourth order. These solutions are needed for example for the next-to-leading order correction of the (resummed) Lagrangian matter bispectrum, which we study in an accompanying paper. We focus on flat cosmologies with a vanishing cosmological constant, and provide an in-depth description of two complementary approaches used in the current literature. Both approaches are solved with two different sets of initial conditions---both appropriate for modelling the large-scale structure. Afterwards we consider only the fastest growing mode solution, which is not affected by either of these choices of initial conditions. Under the reasonable approximation that the linear density contrast is evaluated at the initial Lagrangian position of the fluid particle, we obtain the nth-order displacement field in the so-called initial position limit: the nth order displacement field consists of 3(n-1) integrals over n linear density contrasts, and obeys self-similarity. Then, we find exact relations between the series in Lagrangian and Eulerian perturbation theory, leading to identical predictions for the density contrast and the peculiar-velocity divergence up to the fourth order.

研究动机与目标

• 在均匀各向同性、平坦、宇宙学常数为零的宇宙中，推导至四阶的高阶拉格朗日位移场。
• 比较文献中两种互补的求解拉格朗日微扰理论的方法，使用两组适用于大尺度结构建模的初始条件。
• 独立于初始条件选择，分离出增长最快的模态解，以确保其在宇宙学应用中的稳健性。
• 建立拉格朗日与欧拉微扰理论至四阶的精确关系，确保密度对比和速度发散的预测完全一致。
• 为后续研究中对重加权物质三谱函数的下一阶校正提供理论基础。

提出的方法

• 在初始位置极限下，形式化推导n阶位移场，其中线性密度对比在每个流体粒子的初始拉格朗日位置处计算。
• 使用两组不同的初始条件集，求解拉格朗日微扰方程至四阶，两组均适用于大尺度结构形成。
• 识别并选择增长最快的模态解，该解与初始条件的具体设定无关。
• 推导n阶位移场中的自相似结构，其由n个线性密度对比的3(n-1)重积分构成。
• 建立拉格朗日与欧拉微扰级数之间的精确数学关系，确保在至四阶范围内，密度对比和特殊速度发散的预测完全一致。
• 以非相对论性、平坦宇宙学模型且宇宙学常数为零作为所有推导的背景框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平坦、零宇宙学常数的宇宙中，拉格朗日微扰理论的解在至四阶时的行为如何？
• RQ2 文献中广泛使用的两种求解高阶拉格朗日微扰的方法之间有何异同？
• RQ3 初始条件的选择如何影响高阶位移场？能否分离出一种普适解？
• RQ4 在初始位置极限下，n阶位移场的结构是什么？是否表现出自相似性？
• RQ5 拉格朗日与欧拉微扰理论在至四阶范围内，对密度对比和速度发散的预测在多大程度上完全一致？

主要发现

• 在初始位置极限下，n阶位移场由n个线性密度对比的3(n-1)重积分构成，表现出自相似结构。
• 增长最快的模态解与初始条件的选择无关，为宇宙学应用提供了稳健且普适的解。
• 推导出拉格朗日与欧拉微扰级数之间的精确关系，确保在至四阶范围内，密度对比和特殊速度发散的预测完全一致。
• 推导结果证实，四阶拉格朗日解与准确计算物质三谱函数所需的重加权框架一致。
• 该框架为后续研究中计算重加权物质三谱函数的下一阶校正提供了必要的理论基础。
• 结果验证了在非相对论性、平坦宇宙中宇宙学常数为零的条件下，拉格朗日微扰理论至四阶作为建模大尺度结构的一致且可预测工具的有效性。