[论文解读] Lagrangian solutions to the 2D euler system with L^1 vorticity and infinite energy

Anna Bohun, François Bouchut+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2015

Navier-Stokes equation solutions被引用 4

一句话总结

本文建立了二维不可压缩欧拉方程在初始涡量属于 $L^1(\mathbb{R}^2)$ 情况下拉格朗日解的存在性与强稳定性，该情形下动能可能为无穷大。通过利用关于具有奇异积分的向量场的正规拉格朗日流的最新理论，作者证明了初始涡量在 $L^1$ 弱收敛时，对应的流与解实现强收敛，从而将适定性理论扩展至无穷动能情形。

ABSTRACT

We consider solutions to the two-dimensional incompressible Euler system with only integrable vorticity, thus with possibly locally infinite energy. With such regularity, we use the recently developed theory of Lagrangian flows associated to vector fields with gradient given by a singular integral in order to define Lagrangian solutions, for which the vorticity is transported by the flow. We prove strong stability of these solutions via strong convergence of the flow, under only the assumption of L^1 weak convergence of the initial vorticity. The existence of Lagrangian solutions to the Euler system follows for arbitrary L^1 vorticity. Relations with previously known notions of solutions are established.

研究动机与目标

• 建立当初始涡量属于 $L^1(\mathbb{R}^2)$ 时二维欧拉方程解的严格存在性理论，该情形下动能可能在局部或全局范围内为无穷大。
• 在此低正则性设定下定义并研究拉格朗日解，其中涡量由与速度场关联的流所输运。
• 证明这些解在初始涡量 $L^1$ 弱收敛下的强稳定性，确保流与解的收敛性。
• 阐明拉格朗日解与先前已知解概念（如重正化解与对称化解）之间的关系。
• 将经典的适定性框架从 $L^\infty$ 或 $L^p$ 涡量假设扩展至完整的 $L^1$ 类别，包括非紧致与无穷动能的初始数据。

提出的方法

• 通过由 $L^1$ 涡量经毕奥-萨伐尔定律生成的速度场所关联的正规拉格朗日流理论，定义拉格朗日解。
• 使用文献 [8] 中为梯度为奇异积分的正规拉格朗日流所建立的先验误差估计，以控制流与速度的行为。
• 通过在 $L^1$ 中对初始数据进行光滑化构造近似解，确保光滑化后的涡量仍属于 $L^1$，且通过与毕奥-萨伐尔核卷积，速度场被良好定义。
• 在初始涡量 $L^1$ 弱收敛的条件下，证明光滑化流与速度在 $C([0,T];L^1_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^2))$ 中强收敛。
• 将对称化涡量公式作为关键工具，用于取极限并验证极限解满足对称化弱公式。
• 引入拉格朗日对称化解的概念——既为拉格朗日解又满足对称化涡量公式的解——从而统一多种解的概念。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始涡量仅属于 $L^1(\mathbb{R}^2)$ 时，是否能为二维欧拉方程在不假设有限动能的前提下，严格定义并构造拉格朗日解？
• RQ2 初始涡量在 $L^1$ 弱收敛时，是否意味着相关拉格朗日流与解的强收敛？
• RQ3 在此低正则性设定下，拉格朗日解是否等价于或强于先前已知的解概念（如重正化解或对称化解）？
• RQ4 是否能在不依赖速度或涡量的 $L^2$ 或 $L^p$ 有界性假设的前提下，建立 $L^1$ 涡量情形下解的存在性？
• RQ5 在 $L^1$ 设定下，对称化涡量公式在确保解序列的紧致性与稳定性方面起什么作用？

主要发现

• 对于所有初始涡量属于 $L^1(\mathbb{R}^2)$ 的情形，包括初始动能为无穷大的情况，拉格朗日解均存在。
• 证明了这些解的强稳定性：若初始涡量在 $L^1$ 中弱收敛，则对应的流与解在 $C([0,T];L^1_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^2))$ 中强收敛。
• 光滑化解的极限是一个拉格朗日对称化解，其同时满足拉格朗日输运与对称化涡量公式。
• 在额外假设 $v^0 \in L^2_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^2)$ 下，极限速度场属于 $L^\infty((0,T);L^2_{\rm{loc}}(\mathbb{R}^2))$，且解满足弱速度公式。
• 对称化涡量公式在极限下保持不变，且由于 $\omega_n(t,x)\omega_n(t,y)$ 在 $L^1(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2)$ 中弱收敛，公式中的非线性项也收敛。
• 该理论统一了拉格朗日解、重正化解与对称化解的概念：每个拉格朗日解自动为重正化解，且在等度可积性条件下，亦为对称化解。