[论文解读] Lagrangian Structure Functions in Turbulence: Scaling Exponents and Universality

Victor Yakhot|ArXiv.org|Oct 16, 2008

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于时刻相关耗散时间的新型桥接关系，用于解析预测湍流中拉格朗日结构函数的标度指数。通过将精确的解析（耗散）范围关系外推至惯性范围，该方法与实验和数值数据表现出极佳的一致性，解决了先前方法中的不一致性，并解释了拉格朗日间歇性的非普遍行为。

ABSTRACT

In this paper, the approach for investigation of asymptotic ($Re o \infty$) scaling exponents of Eulerian structure functions (J. Schumacher et al, New. J. of Physics {\bf 9}, 89 (2007)) is generalized to studies of Lagrangian structure functions in turbulence. The novel "bridging relation" based on the derived expression for the fluctuating, moment-order - dependent dissipation time $τ_{η,n}$ enabled us to calculate scaling exponents ($κ_{n}$) of the moments of Lagrangian velocity differences $S_{n,L}(τ)=\bar{(u(t+τ)-u(t))^{n}}\propto τ^{κ_{n}}$ in a good agreement with experimental and numerical data.

研究动机与目标

• 解决拉格朗日结构函数缺乏精确动力学关系的问题，这与欧拉结构函数理论的成熟形成鲜明对比。
• 解决先前桥接关系中的不一致问题，这些关系导致对拉格朗日标度指数的预测不一致。
• 通过引入雷诺数依赖的耗散时间，解释‘二维悖论’——即二维欧拉湍流是非间歇性的，但拉格朗日湍流却是间歇性的。
• 基于时刻相关耗散时间，推导出拉格朗日结构函数 $ S_{n,L}(\tau) \propto \tau^{\kappa_n} $ 的标度指数 $ \kappa_n $ 的理论基础明确的解析表达式。
• 通过引入一种改进的、具有物理解释的桥接关系，统一描述欧拉与拉格朗日结构函数。

提出的方法

• 从精确的解析范围关系 $ r \approx \tau \delta_\tau u / 2 $ 派生出新的桥接关系 $ \eta \approx \tau_{\eta,n} \delta_{\tau_{\eta,n}} u $，并将其外推至耗散截止时间 $ \tau_{\eta,n} $。
• 使用依赖于阶数 $ n $ 的耗散时间 $ \tau_{\eta,n} $，该时间考虑了速度梯度矩的雷诺数标度，作为推导中的关键参数。
• 在 $ Re \to \infty $ 的极限下应用量纲分析和渐近匹配，将拉格朗日结构函数的标度指数 $ \kappa_n $ 与欧拉结构函数的异常标度指数 $ \xi_n $ 联系起来。
• 通过解析范围与惯性范围之间的一致性条件，推导出标度指数 $ \kappa_n $，得到方程 $ \frac{n}{\xi_n - \xi_{n+1} - 1} = \frac{\alpha_n (\kappa_n + n)}{\kappa_n - n} $，其中 $ \alpha_n $ 是速度梯度矩的雷诺数标度指数。
• 通过将理论预测的 $ \kappa_n^{\text{th}} $ 与实验和数值数据对比，验证了理论框架，结果在 $ n = 2 $ 到 $ 10 $ 的范围内表现出高度一致性。
• 通过参数化 $ \alpha_n $ 引入间歇性修正，捕捉了弛豫时间 $ \tau_{2n} $ 的非普遍雷诺数依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏精确动力学关系（如欧拉湍流中那样）的情况下，如何解析预测拉格朗日结构函数的标度指数？
• RQ2 为何基于惯性范围时间增量的先前桥接关系无法再现拉格朗日结构函数的实验数据？
• RQ3 时刻相关耗散时间 $ \tau_{\eta,n} $ 在调和欧拉与拉格朗日结构函数标度行为中起什么作用？
• RQ4 为何 $ \tau_{\eta,n} $ 的非普遍雷诺数依赖性解释了科莫戈罗夫耗散时间 $ \tau_K \approx T / \sqrt{Re} $ 无法在不同雷诺数下实现实验数据的统一归一化？
• RQ5 为何在二维流动中拉格朗日湍流是间歇性的，而欧拉湍流却不是？这一‘二维悖论’如何得以解决？

主要发现

• 所提出的桥接关系 $ \eta \approx \tau_{\eta,n} \delta_{\tau_{\eta,n}} u $，源自精确的解析范围关系，其推导出的标度指数 $ \kappa_n^{\text{th}} $ 与实验和数值数据高度一致，适用于 $ n = 2 $ 到 $ 10 $，其中 $ \kappa_2^{\text{th}} = 0.95 $，$ \kappa_{10}^{\text{th}} = 2.05 $。
• 该理论通过揭示拉格朗日间歇性源于依赖于阶数 $ n $ 的耗散时间 $ \tau_{\eta,n} $（其非普遍且通过 $ \alpha_n $ 依赖于雷诺数）而解决了‘二维悖论’。
• 弛豫时间 $ \tau_{2n} $ 的标度为 $ \tau_{2n}/T \approx Re^{-\gamma_{2n}} $，其中 $ \gamma_2 \approx 0.545 $，$ \gamma_4 \approx 0.566 $，$ \gamma_{10} \approx 0.76 $，表明其具有强烈的雷诺数依赖性。
• 推导出的方程 $ \frac{n}{\xi_n - \xi_{n+1} - 1} = \frac{\alpha_n (\kappa_n + n)}{\kappa_n - n} $ 在欧拉与拉格朗日标度指数之间建立了稳定联系，使得可基于已知的 $ \xi_n $ 和 $ \alpha_n $ 预测 $ \kappa_n $。
• 该理论解释了科莫戈罗夫耗散时间 $ \tau_K \approx T / \sqrt{Re} $ 无法实现 $ S_{n,L}(\tau, Re) $ 实验数据统一归一化的原因，因为它忽略了 $ \tau_{\eta,n} $ 的阶数依赖性。
• 该模型预测拉格朗日指数 $ \kappa_n $ 比其欧拉对应量 $ \xi_n $ 更具间歇性，如图2所示，对所有 $ n $ 均有 $ \kappa_n > \xi_n $。