[论文解读] Lagrangian subbundles of orthogonal bundles of odd rank over an algebraic curve

Insong Choe, George H. Hitching|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

该论文为在亏格 $ g \geq 2 $ 的光滑代数曲线上，奇数秩 $ 2n+1 $ 的正交向量丛建立了 isotropic Segre 不变量 $ t(V) $ 的精确上界，证明了由 $ t(V) $ 定义的模空间 $ MO_X(2n+1)^\

ABSTRACT

An orthogonal bundle over a curve has an isotropic Segre invariant determined by the maximal degree of a Lagrangian subbundle. This invariant, and the induced stratifications on moduli spaces of orthogonal bundles, were studied for bundles of even rank in [4]. In this paper, we obtain analogous results for bundles of odd rank. We obtain a sharp upper bound on the isotropic Segre invariant. We show the irreducibility of the induced strata on the moduli spaces of orthogonal bundles of odd rank, and compute their dimensions. As a key ingredient of the proofs, we study the correspondence between Lagrangian subbundles of orthogonal bundles of even and odd rank.

研究动机与目标

• 将正交丛的 Segre 型分层理论从偶数秩推广到奇数秩，完成对代数曲线上正交丛中 Lagrangian 子丛的分类。
• 确定奇数秩 $ 2n+1 $ 正交丛的 isotropic Segre 不变量 $ t(V) $ 的最大可能值，并证明该界是精确的。
• 建立半稳定正交丛模空间中层 $ MO_X(2n+1;t) $ 的不可约性，并计算其维数。
• 根据 $ (n+1)(g-1) \mod 4 $ 的同余类，分析每个层中一般正交丛的 maximal Lagrangian 子丛的数量与维数。

提出的方法

• 利用正交 Grassmannian $ \mathrm{OG}(n,2n) $ 将模空间 $ MO_X(2n+1)^\pm $ 的两个分支联系起来，并证明 Lagrangian 子丛度数的奇偶性约束。
• 应用 Hirschowitz 型引理与 Serre 对偶性，计算一般秩 $ n+1 $、度数为 $ -e $ 的丛 $ F $ 的 $ h^0(X, \wedge^2 F^*) $，这对纤维维数计算至关重要。
• 构造一个态射 $ \alpha_e: \mathrm{Grass}(n, V) \to MO_X(2n+1) $，参数化由 Lagrangian 子丛构造的正交丛，其纤维同构于 $ \mathrm{Grass}(n, F^*) $。
• 通过上同调消去性导出公式 $ \dim M(V) = \frac{n}{2}(t(V) - (n+1)(g-1)) $，计算 maximal Lagrangian 子丛空间 $ M(V) $ 的维数。
• 对抛物丛使用不变量 $ s(V;P) = \frac{1}{2}(n-1)t(V) $，将 $ t(V) $ 的上界解释为 Hola–Narasimhan 已知结果的推论。
• 根据 $ t(V) \mod 4 $，基于 Lagrangian 子丛度数的奇偶性，对层 $ MO_X(2n+1;t) $ 按分支 $ \pm $ 进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在亏格 $ g \geq 2 $ 的曲线上，奇数秩 $ 2n+1 $ 正交丛的 isotropic Segre 不变量 $ t(V) $ 的精确上界是什么？
• RQ2 由 $ t(V) $ 定义的层 $ MO_X(2n+1;t) $ 在拓扑上如何表现——具体而言，它们是否不可约？其维数是多少？
• RQ3 对于 $ MO_X(2n+1)^\pm $ 中的一般正交丛，其 maximal Lagrangian 子丛的数量与维数如何变化？
• RQ4 一般正交丛属于模空间的 $ + $ 或 $ - $ 分支由什么决定？这与其中 Lagrangian 子丛的度数有何关联？
• RQ5 正交 Grassmannian $ \mathrm{OG}(n,2n) $ 的几何结构如何帮助联系模空间的两个分支，并证明 Lagrangian 子丛度数的奇偶性约束？

主要发现

• 奇数秩 $ 2n+1 $ 正交丛 $ V $ 的 isotropic Segre 不变量 $ t(V) $ 满足精确上界 $ t(V) \leq (n+1)(g-1) + 3 $，且该界在每个分支 $ MO_X(2n+1)^\pm $ 的一般丛中均可达到。
• 对所有满足 $ 0 < t \leq (n+1)(g-1) + 3 $ 的偶数 $ t $，层 $ MO_X(2n+1;t) $ 非空且不可约，其维数为 $ \dim MO_X(2n+1;t) = n(2n+1)(g-1) - \frac{n}{2}(t - (n+1)(g-1)) $。
• 对一般 $ V \in MO_X(2n+1;t) $，maximal Lagrangian 子丛空间 $ M(V) $ 的维数为 $ \frac{n}{2}(t - (n+1)(g-1)) $，当 $ t = (n+1)(g-1) $ 时为零，且随 $ t $ 线性增加。
• 当 $ t < (n+1)(g-1) $ 时，一般 $ V $ 有唯一的 maximal Lagrangian 子丛；当 $ t = (n+1)(g-1) $ 时，有有限多个；当 $ t > (n+1)(g-1) $ 时，有无限多个。
• 包含 $ V $ 的分支 $ MO_X(2n+1)^\pm $ 由 $ t(V) \mod 4 $ 的同余类决定，当 $ t(V) \geq (n+1)(g-1) $ 时，$ V \in MO_X(2n+1)^+ $ 当且仅当 $ t(V) \equiv 0 \text{ 或 } 3 \mod 4 $，而 $ V \in MO_X(2n+1)^- $ 当且仅当 $ t(V) \equiv 1 \text{ 或 } 2 \mod 4 $。
• 一般 $ V $ 的 maximal Lagrangian 子丛数量取决于 $ t(V) $ 与 $ N = (n+1)(g-1) \mod 4 $ 的同余类，其维数为 $ \dim M(V) = \frac{n}{2}(t - N) $，且根据情形不同，$ n/2 $、$ n $ 或 $ 3n/2 $ 的值会出现。