[论文解读] Lagrangian submanifolds in strictly nearly Kähler 6-manifolds

Hông Vân Lê, Lorenz Schwachhöfer|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文建立了严格近乎凯勒6-流形中拉格朗日子流形平均曲率与Maslov 1-形式之间的辛对偶性，利用相对标定推导出体积的二阶变分公式，并在实解析结构下证明了无穷小拉格朗日形变在光滑上受阻当且仅当在形式上受阻。此外，本文还构建了模空间的有限维局部模型，并将结果应用于标准近乎凯勒结构下的S⁶中的拉格朗日子流形。

ABSTRACT

Lagrangian submanifolds in strict nearly K\ahler 6-manifolds are related to special Lagrangian submanifolds in Calabi-Yau 6-manifolds and coassociative cones in $G_2$-manifolds. We prove that the mean curvature of a Lagrangian submanifold $L$ in a nearly K\ahler manifold $(M^{2n}, J, g)$ is symplectically dual to the Maslov 1-form on $L$. Using relative calibrations, we derive a formula for the second variation of the volume of a Lagrangian submanifold $L^3$ in a strict nearly K\ahler manifold $(M^6, J, g)$. This formula implies, in particular, that any formal infinitesimal Lagrangian deformation of $L^3$ is a Jacobi field on $L^3$. We describe a finite dimensional local model of the moduli space of compact Lagrangian submanifolds in a strict nearly K\ahler 6-manifold. We show that there is a real analytic atlas on $(M^6, J, g)$ in which the strict nearly K\ahler structure $(J, g)$ is real analytic. Furthermore, w.r.t. an analytic strict nearly K\ahler structure the moduli space of Lagrangian submanifolds of $M^6$ is a real analytic variety, whence infinitesimal Lagrangian deformations are smoothly obstructed if and only if they are formally obstructed. As an application, we relate our results to the description of Lagrangian submanifolds in the sphere $S^6$ with the standard nearly K\ahler structure described in \cite{Lotay2012}.

研究动机与目标

• 理解严格近乎凯勒6-流形中拉格朗日子流形的几何与分析性质，特别是其形变理论。
• 在拉格朗日子流形上建立其平均曲率1-形式与Maslov 1-形式之间的辛对偶性。
• 在近乎凯勒几何的背景下，利用相对标定推导出体积的二阶变分公式。
• 为严格近乎凯勒6-流形中紧致拉格朗日子流形的模空间构建有限维局部模型。
• 证明在实解析近乎凯勒结构下，拉格朗日形变的光滑阻碍与形式阻碍完全一致。

提出的方法

• 利用相对标定，推导出严格近乎凯勒6-流形中三维拉格朗日子流形体积的二阶变分公式。
• 通过近乎凯勒结构，建立拉格朗日子流形平均曲率1-形式与其Maslov 1-形式之间的辛对偶性。
• 在近乎凯勒6-流形上构建实解析图册，以确保近乎凯勒结构为实解析结构。
• 应用实解析几何理论，证明在解析结构下，拉格朗日子流形的模空间为实解析流形。
• 利用实解析框架，证明拉格朗日形变的光滑阻碍与形式阻碍完全一致。
• 将结果应用于6-球面S⁶上的标准近乎凯勒结构，如Lotay (2012) 所研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 严格近乎凯勒6-流形中拉格朗日子流形的平均曲率与其Maslov 1-形式之间有何关系？
• RQ2 严格近乎凯勒6-流形中拉格朗日3-流形的体积的二阶变分公式是什么？
• RQ3 能否将严格近乎凯勒6-流形中紧致拉格朗日子流形的模空间局部建模为有限维实解析流形？
• RQ4 在何种条件下，拉格朗日形变的光滑阻碍与形式阻碍完全一致？
• RQ5 这些结果如何应用于标准近乎凯勒结构下S⁶中的拉格朗日子流形？

主要发现

• 严格近乎凯勒流形中拉格朗日子流形的平均曲率1-形式与子流形上的Maslov 1-形式之间存在辛对偶性。
• 通过相对标定推导出的公式表明，严格近乎凯勒6-流形中拉格朗日3-流形体积的二阶变分受控，这意味着每个形式的无穷小拉格朗日形变都是雅可比场。
• 严格近乎凯勒6-流形中紧致拉格朗日子流形的模空间存在有限维局部模型。
• 在近乎凯勒6-流形上存在一个实解析图册，使得近乎凯勒结构为实解析结构。
• 在该解析结构下，拉格朗日子流形的模空间为实解析流形，因此光滑阻碍与形式阻碍完全一致。
• 结果被应用于S⁶中具有标准近乎凯勒结构的拉格朗日子流形，为其研究提供了几何框架。