[论文解读] Lagrangian submanifolds with prescribed second fundamental form

Bang‐Yen Chen, Joeri Van der Veken+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文分类了复空间形式（ℂⁿ, ℂPⁿ(4), ℂHⁿ(−4)）中第二基本形式具有特定张量结构的拉格朗日子流形，该结构依赖于一个实参数 d。通过使用扭曲积结构并求解曲率函数 λ, μ, θ 的常微分方程组，作者利用极小Legendrian子流形构造了显式浸入，并确定了在 delta-曲率不等式中等号成立的情形——特别是当 d = 1/(2+m) 或 d = 1/(n−1) 时，δ(m,…,m) 和 δ(2,n−2) 理想子流形的实现。

ABSTRACT

We classify Lagrangian submanifolds of complex space forms, whose second fundamental form can be written in a certain way, depending on a real parameter. For some special values of this parameter, the resulting submanifolds are ideal in the sense that they realize equality in an inequality for a Chen's delta-curvature.

研究动机与目标

• 对复空间形式中第二基本形式满足由实常数 d 参数化的特定张量结构的拉格朗日子流形进行分类。
• 确定此类子流形在何种条件下实现 delta-曲率不等式的等号，从而实现理想子流形。
• 通过常微分方程组的解，在 ℂⁿ, ℂPⁿ(4), 和 ℂHⁿ(−4) 中显式构造这些子流形的局部浸入。
• 确定子流形的几何结构，表明其为内蕴扭曲积 I ×_f N，其中 e₁ 切于区间 I，e₂,…,eₙ 切于 N。
• 阐明特殊 d 值（如 d = 1/(n+1), d = 1/(n−1)）在实现 δ(n−1)-理想或 δ(2,n−2)-理想子流形中的作用。

提出的方法

• 假设存在一个局部标准正交标架 {e₁,…,eₙ}，使得第二基本形式 h 取特定形式，涉及 λ, d, 和 J，其中 h(e₁,e₁) = λJe₁，非对角项涉及 dλJeᵢ。
• 沿 e₁ 的积分曲线推导出函数 λ(t), μ(t), θ(t) 的常微分方程组，其中 λ′ = ((1−2d)/d)λμ，μ′ = ±(1 + μ² + d(1−d)λ²) 或类似形式，具体取决于环境曲率。
• 利用浸入到球面 S²ⁿ⁺¹(1) 或双曲空间 H²ⁿ⁺¹₁(−1) 的水平提升，根据 φ（极小Legendrian浸入）和常微分方程组的解表达完整的浸入。
• 应用扭曲积结构 I ×_f N，其中 I 是以 t 参数化的区间，N 是具有极小拉格朗日浸入 φ 的 (n−1) 维流形。
• 求解常微分方程组以确定控制浸入公式中相位和缩放的系数函数 μ(t), θ(t), 和 λ(t)。
• 根据双曲情形中 1 − μ² − d²λ² 的符号区分不同情况，导致水平提升的不同参数化。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些参数 d 的取值，具有指定第二基本形式的拉格朗日子流形会成为 δ-理想？
• RQ2 如何显式构造具有此类第二基本形式的复空间形式中的拉格朗日子流形？
• RQ3 这些子流形的内在几何结构是什么？其与扭曲积及极小Legendrian子流形的关系如何？
• RQ4 λ(t), μ(t), 和 θ(t) 的常微分方程在决定浸入的全局与局部几何中起什么作用？
• RQ5 特殊 d 值（如 d = 1/(n+1), d = 1/(n−1)）如何对应于曲率不等式中已知的理想子流形类别？

主要发现

• 子流形为内蕴扭曲积 I ×_f N，其中 e₁ 切于 I，e₂,…,eₙ 切于 N，且扭曲函数 f 由常微分方程组的解决定。
• 当 d = 1/(2+m) 且 m ≥ 2 整除 n−1 时，子流形为 δ(m,…,m)-理想（k 个 m，km = n−1），在相应的 delta-曲率不等式中实现等号。
• 当 d = 1/(n−1) 且 n ≥ 5 时，在附加正交性条件下，子流形为 δ(2,n−2)-理想，实现该不等式的等号。
• 在 ℂⁿ 中的浸入为 L(t,u₂,…,uₙ) = (e^{idθ}ϕ / √(1+μ²+d²λ²), e^{i(1−d)θ}(idλ−μ)/√(1+μ²+d²λ²))，其中 ϕ 是到 S²ⁿ⁻¹(1) 的极小Legendrian浸入。
• 在 ℂPⁿ(4) 中，水平提升以类似形式表达，使用相同的常微分方程组和 ϕ 极小于 S²ⁿ⁻¹(1)，至多相差等距变换。
• 在 ℂHⁿ(−4) 中，浸入根据 1−μ²−d²λ² 的符号分为三种情形，涉及 √(1−μ²−d²λ²) 或 √(μ²+d²λ²−1) 的不同参数化，ϕ 分别极小于 H²ⁿ⁻¹₁(−1) 或 S²ⁿ⁻¹(1)。