[论文解读] Lagrangian tens of planes, Enriques surfaces and holomorphic symplectic fourfolds

Igor Dolgachev, Dimitri Markushevich|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 53被引用 9

一句话总结

本文通過三次四fold 和雙EPW六次曲面，建立了一條幾何橋樑，連接了Enriques曲面、ℙ⁵中的拉格朗日平面10元組，以及全純辛四fold。證明了超標記Enriques曲面的模空間是不可約的，並從同一組初始數據構造出兩種不同的全純辛四fold：一種是作為三次四fold中直線的Fano簇，另一種是作為奇異雙EPW六次曲面的最小解析，從而展示了這兩種構造之間的非雙有理性。

ABSTRACT

The Fano models of Enriques surfaces produce a family of tens of mutually intersecting planes in $\mathbf P^5$ with a $10$-dimensional moduli space. The latter is linked to several 10-dimensional moduli spaces parametrizing other types of objects: a) cubic fourfolds containing the tens of planes, b) Beauville--Donagi holomorphically symplectic fourfolds, and c) double EPW sextics. The varieties in b) parametrize lines on cubic fourfolds from a). The double EPW sextics are associated, via O'Grady's construction, to Lagrangian subspaces of the Plücker space of the Grassmannian $Gr(2,\mathbf P^5)$ spanned by 10 mutually intersecting planes in $\mathbf P^5$. These links imply the irreducibility of the moduli space of supermarked Enriques surfaces, where a supermarking is a choice of a minimal generating system of the Picard group of the surface. Also some results are obtained on the variety of tens of mutually intersecting planes, not necessarily associated to Fano models of Enriques surfaces.

研究动机与目标

• 透過三次四fold與雙EPW六次曲面，建立Fano型Enriques曲面與全純辛四fold之間的幾何對應關係。
• 證明超標記Enriques曲面的模空間不可約，其中超標記是指Picard群的最小生成系之選擇。
• 分析ℙ⁵中10個相互相交平面的集合，及其在構造⋀³ℂ⁶中拉格朗日子空間時的作用。
• 比較由同一組10平面配置產生的兩種全純辛四fold：一種是作為三次四fold中直線的Fano簇，另一種是作為雙EPW六次曲面的最小解析。
• 提供有限域上10平面配置的顯式代數構造與數值證據，支持此類拉格朗日系統的存在性與性質。

提出的方法

• 將ℙ⁵中的每一個平面表示為⋀³ℂ⁶中的普利克向量，利用Gr(2, ℙ⁵)的普利克嵌入。
• 證明10個平面的兩兩相交意味著10個普利克向量在自然辛形式下張成一個拉格朗日子空間A ⊂ ⋀³ℂ⁶。
• 利用由11個獨立的三次形式生成的理想，構造唯一的（至多相差常數）三次四fold 𝒞 ⊂ ℙ⁵，使其在10個平面上消失。
• 應用O’Grady的構造，將拉格朗日子空間A映射至ℙ¹⁹中的EPW六次曲面X_A ⊂ ℙ¹⁹，其在一個53次曲面上奇異。
• 解析雙覆蓋X_A的奇點，得到一個全純辛四fold X̃，並分析其幾何結構，包括與K3曲面的ℙ¹-叢雙有理等價的除子。
• 使用電腦代數系統在有限域（如𝔽₂₉）上驗證關鍵性質，包括普利克向量的線性獨立性，以及三次系統基底的消去集結構。

实验结果

研究问题

• RQ1 在給定的幾何約束下，超標記Enriques曲面的模空間是否仍保持不可約？
• RQ2 能否從源自Enriques曲面Fano模型的ℙ⁵中10個相互相交的平面構造出唯一的三次四fold？
• RQ3 對於一般配置，定義為三次四fold中直線的Fano簇與雙EPW六次曲面的最小解析的兩種全純辛四fold是否非雙有理？
• RQ4 與拉格朗日10平面配置相關的EPW六次曲面的奇點集結構為何？其中哪些組分來自原始的10個平面，以及額外的幾何對象（如二次曲面與曲面）？
• RQ5 三次線性系統基底的Hilbert多項式與理想結構如何反映10平面配置的幾何性質？

主要发现

• 超標記Enriques曲面的模空間是不可約的，這是透過其與10維拉格朗日平面10元組模空間的連結而證明的。
• ℙ⁵中的10個平面張成⋀³ℂ⁶中的一個10維拉格朗日子空間A，確認了此配置的幾何極大性。
• 存在唯一一個包含這10個平面的三次四fold 𝒞 ⊂ ℙ⁵，且該三次四fold由x₃x₄x₅給出，45個交點的理想的生成元度數≥3。
• 10維三次系統的通用9維子系統的基底消去集是10條立方曲線B_j的並集，每條B_j位於一個平面Λ_km內。
• EPW六次曲面X_A的奇點集R的Hilbert多項式為53P₂ − 198P₁ + 322P₀，表明其為一個53次曲面，其不可約組分包括10個原始平面、三個二次曲面，以及一個16次的不可約曲面S。
• 雙EPW六次曲面構造產生一個奇異辛幾何對象，其最小解析X̃為一個全純辛四fold，且X̃與三次四fold中直線的Fano簇非雙有理同構，儘管二者共享相同的初始10平面數據。