[论文解读] Lagrangian theory for perfect fluids

Sawa Manoff|ArXiv.org|Mar 4, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文採用共變分攜導數方法（MLCD）的共變拉格朗日方法重新表述理想流體動力學，表明歐拉-拉格朗日方程可導出納維-斯托克斯方程，而理想流體的歐拉方程則作為特例出現。主要貢獻在於透過引入 proper time 的重參數化條件，以無約束變分原理推導流體方程，避免了傳統方法中的約束。

ABSTRACT

The theory of perfect fluids is reconsidered from the point of view of a covariant Lagrangian theory. It has been shown that the Euler-Lagrange equations for a perfect fluid could be found in spaces with affine connections and metrics from an unconstrained variational principle by the use of the method of Lagrangians with covariant derivatives (MLCD) and additional conditions for reparametrizations of the proper time of the mass elements (particles) of the perfect fluid. The last conditions are not related to the variational principle and are not considered as constraints used in the process of variations. The application of the whole structure of a Lagrangian theory with an appropriate choice of Lagrangian invariant as the pressure of the fluid shows that the Euler-Lagrange equations with their corresponding energy-momentum tensors lead to Navier-Stokes' equation identical with the Euler equation for a perfect fluid in a space with one affine connection and metrics. The Navier-Stokes equations appear as higher order equations with respect to the Euler-Lagrange equations.

研究动机与目标

• 在共變拉格朗日框架內重新表達理想流體動力學，並使用無約束變分原理。
• 解決長期以來關於理想流體理論是否能從無約束變分原理推導而出的問題，此問題過去被認為透過偏微分方法無法實現。
• 展示共變導數拉格朗日方法（MLCD）可透過引入 proper time 的重參數化條件，實現此類推導。
• 表明在具有仿射聯絡與度量的空間中，納維-斯托克斯方程（包括理想流體的歐拉方程）可自然地從此形式化中出現。
• 釐清 proper time 及其變換性質在流體動力學中的角色，暗示其具有更深的物理意義。

提出的方法

• 使用共變導數拉格朗日方法（MLCD）取代傳統的偏微分方法（MLPD），以處理具有仿射聯絡與度量的彎曲時空中之場變分。
• 構建拉格朗日密度，以壓力 $ p $ 為拉格朗日不變量，其中 $ \mathbf{L} = \sqrt{-\det g} \cdot p $，$ g $ 為度量張量。
• 對拉格朗日量應用無約束變分原理，將流體速度場與度量視為獨立變數。
• 引入對流體質點 proper time 重參數化的額外條件，這些條件在變分意義上並非約束，但會影響動力學。
• 透過所有場的李變分推導能量-動量張量，確保與守恆定律的一致性。
• 透過共形度量 $ \widetilde{g} = \overline{\alpha}^2 \cdot g $ 對方程進行變換，進而導出 $ (L_n, g) $-空間中的一般化歐拉方程形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用共變拉格朗日形式化，從無約束變分原理推導出理想流體理論？
• RQ2 共變導數拉格朗日方法（MLCD）是否允許在不對場變數施加約束的情況下，推導出納維-斯托克斯與歐拉方程？
• RQ3 proper time 重參數化在理想流體拉格朗日形式化中的角色為何？其對變分原理有何影響？
• RQ4 在 $ (L_n, g) $-空間中，仿射聯絡與度量如何影響納維-斯托克斯與歐拉方程的結構？
• RQ5 在此形式化中，理想流體的歐拉方程是否可作為納維-斯托克斯方程的特例被恢復？

主要发现

• 透過 MLCD 與無約束變分原理導出的歐拉-拉格朗日方程，可重現具有仿射聯絡與度量空間中理想流體的納維-斯托克斯方程。
• 當度量與仿射聯絡相容（$ \nabla_u g = 0 $）且 $ a_0 = \frac{1}{2} \varepsilon $（$ \varepsilon = \mp 1 $）時，理想流體的歐拉方程可作為納維-斯托克斯方程的特例出現。
• 納維-斯托克斯方程被證明相對於歐拉-拉格朗日方程具有更高階次，顯示其具有更深的動力學結構。
• 使用共形度量 $ \widetilde{g} = \overline{\alpha}^2 \cdot g $ 可導出一般化形式的歐拉方程：$ \overline{a} = -\frac{1}{2a_0\rho} \widetilde{\overline{g}}(Krp) - h^{\overline{u}}[(\nabla_{\overline{u}}g)(\overline{u})] $，此式在 $ U_n $-與 $ V_n $-空間中可簡化為標準形式。
• proper time 重參數化條件並非變分約束，而是保持拉格朗日形式化結構的變換規則。
• 本文結論指出，當恰當地處理 proper time 時，理想流體動力學可從無約束變分原理中一致地推導而出，從而挑戰了過去認為此類推導不可能的假設。