[论文解读] Lagrangian theory of structure formation in pressure-supported cosmological fluids

Susanne Adler, Thomas Buchert|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 1998

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 20

一句话总结

该论文将Zel'dovich的宇宙结构形成拉格朗日近似方法扩展至压强支持流体，通过推导一种各向同性压强依赖于密度的拉格朗日流体动力学框架，实现了对弱非线性区域中多流体动力学的建模。该研究提出了一种构造规则，可从已知的欧拉线性解中生成一阶非线性解，将黏附近似推广至包含压强力的框架，从而实现对多流动力学的建模。

ABSTRACT

The Lagrangian theory of structure formation in cosmological fluids, restricted to the matter model ``dust'', provides successful models of large-scale structure in the Universe in the laminar regime, i.e., where the fluid flow is single-streamed and ``dust''-shells are smooth. Beyond the epoch of shell-crossing a qualitatively different behavior is expected, since in general anisotropic stresses powered by multi-stream forces arise in collisionless matter. In this paper we provide the basic framework for the modeling of pressure-supported fluids, thus restricting attention to isotropic stresses and to the cases where pressure can be given as a function of the density. We derive the governing set of Lagrangian evolution equations and study the resulting system using Lagrangian perturbation theory. We discuss the first-order equations and compare them to the Eulerian theory of gravitational instability, as well as to the case of plane-symmetric collapse. We obtain a construction rule that allows to derive first-order solutions of the Lagrangian theory from known first-order solutions of the Eulerian theory and so extend Zel'dovich's extrapolation idea into the multi-streamed regime. These solutions can be used to generalize current structure formation models in the spirit of the ``adhesion approximation''.

研究动机与目标

• 开发一种适用于具有各向同性压强的宇宙流体的拉格朗日结构形成框架，超越传统的尘埃模型。
• 通过依赖于密度的压强项，现象学地建模无碰撞系统中多流力的影响。
• 通过在拉格朗日形式中引入压强力，将黏附近似推广至弱非线性聚集区域。
• 建立一种系统方法，从已知的欧拉线性解中构造一阶非线性解。
• 为利用拉格朗日微扰理论建模尖点形成和多流区域中的层次结构增长提供基础。

提出的方法

• 推导出具有各向同性应力和依赖于密度的压强函数 $ p = \alpha(\varrho) $ 的压强支持流体的完整拉格朗日演化方程组。
• 应用拉格朗日微扰理论对这些方程进行线性化，得到关于密度对比 $ \delta $ 的波动方程，其有效声速 $ c_s $ 经过修正。
• 建立一种构造规则：通过映射 $ \@vec{q} \mapsto \@vec{X} $，将已知的欧拉线性解 $ \delta^\ell(\@vec{q},t) $ 映射为拉格朗日解 $ P_i^L(\@vec{X},t) $，并保持方程结构不变。
• 利用关系 $ \alpha' = c_s^2 $ 将压强项表示为声速形式，从而在近似线性区域中建立流体动力学类比。
• 推导出线性化演化方程的三种等价形式：一种用于拉格朗日坐标下的形变场 $ \@vec{P}^L $，一种用于平面对称坍缩，一种用于欧拉共动坐标下的 $ \delta $。
• 证明了在时间导数变换 $ \frac{d}{dt}\big|_{\@vec{X}} \leftrightarrow \frac{\partial}{\partial t}\big|_{\@vec{q}} $ 下，拉格朗日线性理论与欧拉线性理论的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将拉格朗日结构形成理论推广至包含宇宙流体中各向同性压强力的情形？
• RQ2 压强支持流体的拉格朗日线性方程与标准欧拉引力不稳定性理论之间存在何种关系？
• RQ3 是否可以系统地从已知的欧拉线性解中构造拉格朗日框架下一阶非线性解？
• RQ4 包含依赖于密度的压强项如何影响尖点的形成以及多流流动的动力学？
• RQ5 通过拉格朗日流体动力学模型，黏附近似在多大程度上可以推广以包含压强力？

主要发现

• 拉格朗日形变场 $ \@vec{P}^L $ 的线性化拉格朗日演化方程为 $ \ddot{\@vec{P}}^{L} + 2\frac{\dot{a}}{a}\dot{\@vec{P}}^{L} - 4\pi G\varrho_{\mathrm{H}}\@vec{P}}^{L} = \frac{\alpha'}{a^2}\@vec{\Delta}_{\@vec{0}}\@vec{P}}^{L} $，该方程将Zel'dovich近似推广至包含压强力的情形。
• 欧拉线性理论中密度对比 $ \delta $ 满足方程 $ \frac{\partial^2}{\partial t^2}\big|_{\@vec{q}}\delta + 2\frac{\dot{a}}{a}\frac{\partial}{\partial t}\big|_{\@vec{q}}\delta - 4\pi G\varrho_{\mathrm{H}}\delta = \left(\frac{c_s}{a}\right)^2\Delta_{\@vec{q}}\delta $，其中 $ c_s^2 = \alpha' $。
• 建立了一种构造规则：已知的欧拉线性解 $ \delta^\ell(\@vec{q},t) $ 可映射为拉格朗日解 $ P_i^L(\@vec{X},t) $，从而实现黏附近似的非线性推广。
• 对于特殊状态方程 $ p = \frac{c_1}{\varrho} + c_2 $，压强项在形变场中保持线性，从而保持了线性化方程的结构。
• 平面对称坍缩方程 $ \ddot{P}_1 + 2\frac{\dot{a}}{a}\dot{P}_1 - 4\pi G\varrho_{\mathrm{H}}P_1 = \frac{\alpha'}{a^2(1+P_{1|1})^2}P_{1|11} $ 表明，即使在一维坍缩中，压强也能引入非线性。
• 在时间导数变换 $ \frac{d}{dt}\big|_{\@vec{X}} \leftrightarrow \frac{\partial}{\partial t}\big|_{\@vec{q}} $ 下，拉格朗日与欧拉线性理论的等价性确认了该框架的一致性，并使得现有欧拉解可作为构建非线性拉格朗日模型的基石。