[论文解读] Lagrangians with linear velocities within Riemann-Liouville fractional derivatives

Dumitru Bǎleanu, T. Avkar|arXiv (Cornell University)|May 4, 2004

Fractional Differential Equations Solutions被引用 137

一句话总结

本文利用左、右Riemann-Liouville分数阶导数，为关于速度线性化的拉格朗日量建立了分数阶Euler-Lagrange方程。通过两个例子——一阶和二阶约束系统——推导出精确解，表明在 α → 1 的极限下经典力学得以恢复，并在第一种情况下揭示了类似规范的不变性。

ABSTRACT

Lagrangians linear in velocities were analyzed using the fractional calculus and the Euler-Lagrange equations were derived. Two examples were investigated in details, the explicit solutions of Euler-Lagrange equations were obtained and the recovery of the classical results was discussed.

研究动机与目标

• 将分数阶变分法推广至使用Riemann-Liouville分数阶导数的关于速度线性化的拉格朗日量。
• 推导并求解此类拉格朗日量的分数阶Euler-Lagrange方程，同时考虑左、右导数。
• 研究在 α → 1 的极限下是否能恢复经典力学结果。
• 分析边界条件和分数阶导数在决定系统动力学中的作用。
• 探索分数阶约束系统中类似规范的对称性与结构特性。

提出的方法

• 形式化方法在拉格朗日泛函中采用阶数为 α 和 β 的左、右Riemann-Liouville分数阶导数。
• 利用变分原理推导分数阶Euler-Lagrange方程，将左、右导数同时纳入运动方程。
• 假设拉格朗日量关于速度线性，其一般形式为 $ L = a_j(q^i)\dot{q}^j - V(q^i) $，并推广至分数阶导数。
• 第一个例子中，拉格朗日量为 $ L = ({}_{a}D_{t}^{eta}q^{1})q^{2} - (q^{1}-q^{2})q^{3} $，导出耦合的分数阶微分方程。
• 第二个例子中，通过 $ L' = -[({}_{t}D_{b}^{eta}q^{1})q^{2} + ({}_{t}D_{b}^{eta}q^{3})q^{4} + V(q^{2},q^{3},q^{4})] $ 建模二阶约束系统，其中 $ V = -\frac{1}{2}[(q^{4})^{2} - 2q^{2}q^{3}] $。
• 利用分数阶积分表示法和Riemann-Liouville导数的性质，特别是幂函数法则 $ {}_{a}D_{t}^{p}(t-a)^{\nu} = \frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(-p+\nu+1)}(t-a)^{\nu-p} $，获得解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在Riemann-Liouville分数阶微积分框架内一致地推广关于速度线性化的拉格朗日量？
• RQ2 当同时涉及左、右Riemann-Liouville导数时，分数阶Euler-Lagrange方程的结构是怎样的？
• RQ3 对于约束系统，分数阶方程是否能给出在 α → 1 时退化为经典力学的解？
• RQ4 在速度线性拉格朗日量的分数阶动力学中是否存在类似规范的对称性？
• RQ5 边界条件和分数阶阶数 α 如何影响系统的解空间？

主要发现

• 关于速度线性化拉格朗日量的分数阶Euler-Lagrange方程即使拉格朗日量仅包含一种导数，也涉及左、右Riemann-Liouville导数。
• 在第一个例子中，解 $ q^1 = q^2 $ 和 $ q^3 = (-{}_{a}D_{t}^{eta} + {}_{t}D_{b}^{eta})q^1 $ 在 α → 1 时恢复经典结果。
• 第二个例子为二阶约束系统，得到显式解：$ q^2(t) = C_1(t-a)^{\alpha-1} $，$ q^4(t) $ 涉及幂函数的双重积分，$ q^3(t) $ 和 $ q^1(t) $ 通过高阶分数阶积分表达。
• 在极限 α → 1，a → 0，b → 1 下，解退化为标准多项式形式：$ q^1(t) = C_4't^3/6 - C_3't^2/2 + C_2't + C_1' $，等等，确认与经典力学的一致性。
• 在第一个例子中观察到类似规范的不变性，即方程在依赖变量的某些变换下保持不变。
• 解显式依赖于积分限 a 和 b 以及分数阶阶数 α，表明分数阶导数固有的非局部动力学特性。