[论文解读] Laguerre-Sobolev orthogonal Polynomials and Boundary Value Problems on a semi-infinite domain

Cleonice F. Bracciali, Miguel A. Piñar|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2026

Mathematical functions and polynomials被引用 0

一句话总结

该论文在半线性 Sobolev 内积下引入 Laguerre–Sobolev 正交多项式，建立其与经典 Laguerre 多项式的联系，并给出一个完全对角化的 Laguerre–Sobolev 谱方法用于带奇异势的 Dirichlet 边值问题，数值演示显示光谱级收敛。

ABSTRACT

We study a family of Laguerre--Sobolev orthogonal polynomials associated with a Sobolev inner product arising from second--order boundary value problems on the semi--infinite interval $(0,+\infty)$. These polynomials generate an orthogonal basis of test functions vanishing at the endpoints and are especially well suited for the spectral approximation of Schrödinger--type problems with singular potentials. Explicit connection formulas with classical Laguerre polynomials are obtained, together with recurrence relations and asymptotic properties of the corresponding coefficients. A generating function involving Bessel functions is also derived. As an application, we develop a fully diagonalized Laguerre--Sobolev spectral method for Dirichlet problems with singular potentials. The method avoids the solution of linear systems and can be implemented recursively. Numerical experiments for a Schrödinger--type equation with inverse--distance potential confirm spectral accuracy and exponential convergence.

研究动机与目标

• 为半线性区间上的二阶算子建立并构造一个与之相关的 Sobolev 正交多项式族。
• 建立与经典 Laguerre 多项式的连接公式及渐近性质。
• 推导生成函数并给出带奇异势的 Dirichlet 边值问题的对角化谱方法。
• 通过对 Schrödinger-type 方程的数值试验展示谱精度。

提出的方法

• 通过 Gram–Schmidt 在与边值问题相关的 Sobolev 内积下构造 Laguerre–Sobolev 正交多项式 S_n，得到基于 L_n^{(1)} 的连接。
• 推导连接公式 L_n^{(1)}(x) = S_n(x) + a_{n-1} S_{n-1}(x)，给出递推关系和渐近性。
• 获得涉及 Bessel 函数的渐近展开和一个 Hardy–Hille 型的生成函数。
• 以基底 S_n(x) x e^{-x/2} 构建完全对角化的谱方法，并递归计算 Fourier–Sobolev 系数。
• 给出 Sobolev 范数 s(n) 与系数 f(n) 的递推关系，以避免线性方程组求解。

Figure 5.1. The solution $u(x)$ and the Fourier-Sobolev partial sums $\mathcal{S}_{n}(u,x)$ for $n=6,9,12,15$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为由半线区间 (0, ∞) 上的二阶算子诱导的 Sobolev 内积构造 Laguerre–Sobolev 正交多项式族？
• RQ2 Laguerre–Sobolev 多项式与经典 Laguerre 多项式之间的连接公式、递推关系和渐近性质是什么？
• RQ3 是否可以为带奇异势的半线区间 Dirichlet 问题开发一个完全对角化的谱方法，其稳定性和收敛性如何？
• RQ4 带反距离势的 Schrödinger-type 方程数值实验是否呈现谱精度和指数收敛？

主要发现

• 构建出 Laguerre–Sobolev 家族 S_n(x)，相对于 Sobolev 内积正交，该内积保证在 0 与 ∞ 处的齐次 Dirichlet 条件。
• 建立了具体的连接公式 L_n^{(1)}(x) = S_n(x) + a_{n-1} S_{n-1}(x)，其中 a_n 由递推关系给出且为正；a_n = (n+2)/(4λ+2(n+1)−n a_{n-1})。
• 获得 a_n 的显式渐近展开：a_n = (n+2)/(n+1) * L_n^{(1)}(−4λ)/L_{n+1}^{(1)}(−4λ)，进而得到 a_n = 1 − sqrt(4λ)/sqrt(n) + O(1/n)。
• 给出 Laguerre–Sobolev 多项式的生成函数，以 Bessel 函数表示（Hardy–Hille 型）。
• 为 (0, ∞) 上的二阶 Dirichlet 问题开发了完全对角化的 Laguerre–Sobolev 谱方法，实现 Fourier–Sobolev 系数的递归计算并避免线性方程组求解。
• 带反距离势的 Schrödinger-type 方程的数值试验显示出光谱精度和指数收敛性。

Figure 5.2. A logarithmic plot of errors for $n=0,1,\ldots,20$ .