[论文解读] Landau meets Newton: time translation symmetry breaking in classical mechanics

Liu Zhao, Wei Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2012

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一种经典力学中的非标准哈密顿形式，其中哈密顿量为规范哈密顿量的平方，当势能变为负时，可实现时间平移对称性的自发性破缺。该研究建立了与朗道二级相变理论的直接类比，并将ΛCDM宇宙学模型重新表述为时间平移对称性破缺的基态。

ABSTRACT

Every classical Newtonian mechanical system can be equipped with a nonstandard Hamiltonian structure, in which the Hamiltonian is the square of the canonical Hamiltonian up to a constant shift, and the Poisson bracket is nonlinear. In such a formalism, time translation symmetry can be spontaneously broken, provided the potential function becomes negative. A nice analogy between time translation symmetry breaking and the Landau theory of second order phase transitions is established, together with several example cases illustrating time translation breaking ground states. In particular, the $Λ$CDM model of FRW cosmology is reformulated as the time translation symmetry breaking ground states.

研究动机与目标

• 证明通过非标准哈密顿结构，时间平移对称性破缺可在经典牛顿系统中发生。
• 在时间平移对称性破缺与朗道二级相变理论之间建立形式类比。
• 利用倒置谐振子势，将ΛCDM宇宙学模型重新表述为时间平移对称性破缺的基态。
• 探索在负势能系统中时间平移对称性破缺的动力学涌现机制。
• 提供一个经典力学框架，或可为量子引力与宇宙学模型（尤其是Wheeler-DeWitt方程）提供启示。

提出的方法

• 引入非标准哈密顿量 $ H_2 = (H_1)^2 + E_0 $，其中 $ H_1 $ 为规范哈密顿量，以描述与标准形式相同的牛顿动力学。
• 采用非线性泊松括号 $ \{x,v\}_2 = \frac{1}{v^2 + 2U(x)} $，与规范的 $ \{x,v\}_1 = 1 $ 不同，以保持与修改后哈密顿量的一致性。
• 对平方哈密顿量 $ H_2 $ 应用朗道型自由能最小化，将势能符号视为序参量，类比于相变中的温度。
• 分析负势能系统中基态条件 $ H_2 = 0 $，表明其对应于时间平移对称性破缺相。
• 将具有 $ \Lambda $ 和空间曲率 $ k $ 的弗里德曼-罗伯逊-沃尔克（FRW）宇宙学模型重新表述为具有倒置谐振子势的力学系统。
• 证明 $ \Lambda $CDM 模型作为基态出现，满足 $ H_2 = 0 $，此时要求 $ k \leq 0 $ 以保证一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过非标准哈密顿形式在经典牛顿系统中实现时间平移对称性的自发破缺？
• RQ2 时间平移对称性破缺与朗道二级相变理论之间的类比在经典力学中如何体现？
• RQ3 在经典系统中，时间平移对称性破缺的动力学涌现需满足何种条件？
• RQ4 能否在经典力学框架下，将 $ \Lambda $CDM 宇宙学模型一致地描述为时间平移对称性破缺的基态？
• RQ5 非线性泊松括号与平方哈密顿量在实现时间平移对称性破缺中起何作用？

主要发现

• 当势函数为负时，若系统由非标准哈密顿量 $ H_2 = (H_1)^2 + E_0 $ 与非线性泊松括号描述，时间平移对称性破缺可在经典系统中发生。
• 系统的基态对应于 $ H_2 = 0 $，当规范哈密顿量 $ H_1 $ 恒为零时实现，导致时间平移对称性破缺相。
• FRW 宇宙学的 $ \Lambda $CDM 模型被重新表述为具有倒置谐振子势的力学系统，其中基态条件 $ H_2 = 0 $ 对应于 $ \Lambda > 0 $ 的 de Sitter 宇宙。
• 空间曲率 $ k $ 必须非正（理想情况下为零），以保证基态存在，从而与 $ H_2 = 0 $ 条件一致。
• 对于宇宙学模型，非标准哈密顿形式比规范形式更自然，因其与Wheeler-DeWitt方程及广义相对论的哈密顿约束相一致。
• 时间平移对称性破缺机制具有动力学可及性：初始条件可能保持对称性，但系统可演化进入对称性破缺相。