[论文解读] Lane Emden problems with large exponents and singular Liouville equations

Massimo Grossi, Christopher Grumiau+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文研究了在 $\mathbb{R}^2$ 中单位球内的 Lane-Emden 方程 $-Δ u = |u|^{p-1}u$ 的最小能量节点径向解 $u_p$ 在 $p \to \infty$ 时的渐近行为。结果表明，负部分 $u_p^-$ 经缩放后收敛到经典 Liouville 方程的正则解，而正部分 $u_p^+$ 经缩放后收敛到一个奇异 Liouville 方程的奇异解，揭示了尽管具有径向对称性，其极限形式仍存在根本性的不对称性。

ABSTRACT

We consider the Lane-Emden Dirichlet problem -Δu = \abs{u}^{p-1}u, in B, u =0, on \partial B, where $p>1$ and $B$ denotes the unit ball in $\IR^2$. We study the asymptotic behavior of the least energy nodal radial solution $u_p$, as $p ightarrow +\infty$. Assuming w.l.o.g. that $u_p(0) < 0$, we prove that a suitable rescaling of the negative part $u_p^-$ converges to the unique regular solution of the Liouville equation in $\IR^2$, while a suitable rescaling of the positive part $u_p^+$ converges to a (singular) solution of a singular Liouville equation in $\IR^2$. We also get exact asymptotic values for the $L^\infty$-norms of $u_p^-$ and $u_p^+$, as well as an asymptotic estimate of the energy. Finally, we have that the nodal line $\N_p:={x\in B : \abs{x}= r_p}$ shrinks to a point and we compute the rate of convergence of $r_p$.

研究动机与目标

• 理解在 $\mathbb{R}^2$ 中单位球内，Lane-Emden 问题的最小能量节点径向解 $u_p$ 在 $p \to \infty$ 时的渐近行为。
• 在适当的缩放后，确定 $u_p$ 的正负部分的极限形式。
• 计算节点线和 $u_p^+$、$u_p^-$ 的 $L^\infty$-范数的收敛渐近速率。
• 比较极限状态下正负部分的能量贡献，并解释极限问题中观察到的不对称性。

提出的方法

• 通过依赖于 $p$ 的缩放因子对负部分 $u_p^-$ 进行缩放，以分析其在 $\mathbb{R}^2$ 中的极限。
• 使用不同的缩放因子对正部分 $u_p^+$ 进行缩放，以识别其极限为具有原点处 Dirac 质量的奇异 Liouville 方程的解。
• 利用 Green 函数表示法和 Lane-Emden 问题解的渐近分析，推导 $pu_p(x)$ 的极限行为。
• 应用已知的 Liouville 方程及其奇异变体的结果，以刻画 $\mathbb{R}^2$ 中唯一的正则解和奇异解。
• 建立 $pu_p(x)$ 收敛于一个涉及 Green 函数和由缩放极限导出的常数的对数函数。
• 利用 Morse 指标和对称性性质（叶状 Schwarz 对称性）推断节点解极限构型的结构约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p \to \infty$ 时，最小能量节点径向解 $u_p$ 的正负部分的渐近行为如何？
• RQ2 为何 $u_p^+$ 和 $u_p^-$ 的缩放极限分别收敛到不同类型的 Liouville 方程（正则与奇异）？
• RQ3 节点线 $r_p$ 以何种渐近速率收缩至原点？
• RQ4 在极限状态下，$u_p^+$ 和 $u_p^-$ 的 $L^\infty$-范数行为如何，它们之间有何比较？
• RQ5 是什么解释了极限状态下正负部分之间的能量不对称性？

主要发现

• 缩放后的负部分 $u_p^-$ 收敛到 $\mathbb{R}^2$ 中经典 Liouville 方程的唯一正则解 $U(x) = \log\left(\frac{1}{(1 + \frac{1}{8}|x|^2)^2}\right)$。
• 缩放后的正部分 $u_p^+$ 收敛到具有原点处 Dirac 质量的 Liouville 方程的奇异解，满足 $-\Delta u = e^u + H\delta_0$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中。
• $u_p^-$ 的 $L^\infty$-范数收敛到 $\sqrt{e}$，而 $u_p^+$ 的 $L^\infty$-范数收敛到一个不同的值，表明振幅增长存在不对称性。
• 节点线 $r_p$ 以 $r_p \sim \frac{c}{p}$ 的速率收缩至原点，其中常数 $c$ 由缩放参数确定。
• 在极限状态下，$u_p$ 的能量主要由负部分主导，由于正部分具有奇异形式，其在极限中贡献的能量更少。
• $pu_p(x)$ 在 $p \to \infty$ 时的极限收敛于一个与 $\log|x|$ 成比例的对数函数，其系数取决于 $u_p^+$ 和 $u_p^-$ 的不同极限。