[论文解读] Langevin equation with nonlocal boundary conditions involving a $\psi$--Caputo fractional operator

Arjumand Seemab, Jehad Alzabut+3 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文研究了一类涉及ψ-Caputo分数阶导数的广义Langevin方程，其边界条件为非局部型。通过不动点定理（Krasnoselskii与Banach），作者建立了解的存在性与唯一性，并利用ψ-分数阶Gronwall不等式及分部积分法证明了Ulam–Hyers与Ulam–Hyers–Rassias稳定性。结果通过在分数阶算子中引入一般函数ψ，推广了现有文献。

ABSTRACT

This paper studies Langevin equation with nonlocal boundary conditions involving a $\psi$--Caputo fractional derivatives operator. By the aide of fixed point techniques of Krasnoselskii and Banach, we derive new results on existence and uniqueness of the problem at hand. Further, the $\psi $-fractional Gronwall inequality and $\psi $--fractional integration by parts are employed to prove Ulam--Hyers and Ulam--Hyers--Rassias stability for the solutions. Examples are gifted to demonstrate the advantage of our major results. The proposed results here are more general than the existing results in the literature and obtain them as particular cases.

研究动机与目标

• 通过引入广义ψ-Caputo分数阶导数算子，扩展分数阶Langevin方程的理论。
• 为具有非局部边界条件的非线性Langevin方程建立解的存在性与唯一性。
• 利用ψ-分数阶积分与微分不等式，研究Ulam–Hyers与Ulam–Hyers–Rassias稳定性。
• 通过统一各类分数阶导数模型（如Caputo、Hadamard、Erdélyi–Kober）作为特例，推广文献中已有结果。

提出的方法

• 利用ψ-Caputo分数阶导数与ψ-分数阶积分算子，推广经典分数阶微积分。
• 应用Banach不动点定理证明解的唯一性，利用Krasnoselskii的不动点定理证明解的存在性。
• 采用新型ψ-分数阶Gronwall不等式分析稳定性性质。
• 通过ψ-分数阶分部积分推导稳定性估计并控制解的偏差。
• 为该问题的线性和非线性变体推导显式解形式。
• 通过说明性实例验证理论结果，展示推导条件的适用性与一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有非局部边界条件的ψ-Caputo分数阶Langevin方程存在唯一解？
• RQ2 如何为该类分数阶系统建立Ulam–Hyers与Ulam–Hyers–Rassias稳定性？
• RQ3 在何种意义上，所提出的结果推广了涉及Caputo或Riemann–Liouville导数的现有结果？
• RQ4 函数ψ在统一不同分数阶导数模型方面起到何种作用，使其能整合于同一框架中？
• RQ5 非局部边界条件如何影响解的结构与稳定性？

主要发现

• 在非线性项满足较弱的Lipschitz与连续性条件时，通过Banach不动点定理证明了解的唯一性。
• 在适当的增长与紧致性假设下，利用Krasnoselskii不动点定理证明了解至少存在一个。
• 解具有Ulam–Hyers稳定性，即方程中的微小扰动会导致解的偏差保持一致有界。
• 解还具有广义Ulam–Hyers–Rassias稳定性，其界依赖于一个控制函数，证实了在近似下的鲁棒性。
• ψ-分数阶Gronwall不等式在推导稳定性估计及控制解差异方面起关键作用。
• 通过具体实例验证了理论结果，展示了所推导条件的一致性与适用性。