[论文解读] Langlands program for $p$-adic coefficients and the petites camarades conjecture

Tomoyuki Abe|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了有限域上光滑曲线的 $p$-进系数的朗兰兹型对应关系，证明了德利涅的「小同伴」猜想蕴含 $p$-进表示的朗兰兹对应。此外，本文还表明，所有光滑代数簇上秩 $\leq 2$ 的过收敛 $F$-等构态均为 $\iota$-混合的，支持了 $p$-进朗兰兹纲领的关键部分。

ABSTRACT

In this paper, we prove that, if Deligne's "petites camarades conjecture" holds, then a Langlands type correspondence holds also for $p$-adic coefficients on a smooth curve over a finite field. We also prove that any overconvergent $F$-isocrystal of rank less than or equal to 2 on a smooth variety is $ι$-mixed.

研究动机与目标

• 建立有限域上光滑曲线的 $p$-进系数的朗兰兹型对应关系。
• 证明 $p$-进系数的朗兰兹纲领与德利涅的「小同伴」猜想之间的等价性。
• 证明所有光滑代数簇上秩 $\leq 2$ 的过收敛 $F$-等构态均为 $\iota$-混合的。
• 通过使用 $p$-进 $\varepsilon$-因子与互惠映射，将朗兰兹对应关系推广至 $p$-进系数。

提出的方法

• 利用 [AM] 中的 $p$-进 $\varepsilon$-因子的乘积公式，从「小同伴」猜想推导出朗兰兹对应关系。
• 应用 [De1] 和 [Lau] 中的标准论证，通过在非分歧处匹配弗罗贝尼乌斯与赫克特征值，建立对应关系。
• 利用互惠映射与单位根性质，结合辻井的成果，构造秩 1 $F$-等构态的朗兰兹对应关系。
• 通过基变换与在曲线上限制，将高阶 $F$-等构态的 $\iota$-混合性约化至秩 1 与秩 2 的情形。
• 通过分层结构与过收敛 $F$-等构态的特殊化，利用 $\iota$-混合性的概念，证明秩 $\leq 2$ 的主要结果。
• 应用 $d$-代数簇上过收敛 $F$-等构态的理论以及过调和 $F$-$\mathscr{D}^\dagger$-复形的理论，推广结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在德利涅的「小同伴」猜想假设下，$p$-进系数的朗兰兹对应关系是否成立？
• RQ2 所有光滑代数簇上秩 $\leq 2$ 的过收敛 $F$-等构态是否均为 $\iota$-混合的？
• RQ3 能否通过 $\varepsilon$-因子恒等式，将朗兰兹对应关系从 $\ell$-进推广至 $p$-进系数？
• RQ4 在函数域上，是否存在不可约过收敛 $F$-等构态与 $\mathrm{GL}_r$ 的自守表示之间的典范对应？

主要发现

• $p$-进系数的朗兰兹对应关系与德利涅的「小同伴」猜想等价。
• 通过互惠映射与单位根性质，建立了秩 1 $F$-等构态的朗兰兹对应关系。
• 对于秩 2 情形，利用 $\varepsilon$-因子的重合性与引理 5.2 构造了对应关系。
• 所有光滑代数簇上秩 $\leq 2$ 的过收敛 $F$-等构态均为 $\iota$-混合的，通过约化至曲线与基变换得以证明。
• 过调和 $F$-$\mathscr{D}^\dagger$-复形在 $d$-代数簇上的 $\iota$-混合性，由猜想与秩 $\leq 2$ 的结果推出。
• 证明依赖于 $p$-进 $\varepsilon$-因子的乘积公式以及 $\ell$-进朗兰兹理论中的标准技术。