[论文解读] Languages Given by Finite Automata over the Unary Alphabet

Czerwiński, Wojciech, Dębski, Maciej+6 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

semigroups and automata theory被引用 2

一句话总结

本文提出了针对一元字母表上有限自动机的决策问题和正则运算的改进算法与复杂度界。该研究显著提升了对一元非确定有限自动机（NFA）的包含关系和等价性检查的运行速度，将时间复杂度从 2^O((n log n)^1/2) 降低至 2^O((n log n)^1/3)，并为一元无歧义有限自动机（UFA）的布尔运算建立了准多项式状态界，同时在指数时间假设（ETH）下证明了连接运算和ω-词成员关系问题的指数下界。

ABSTRACT

This paper studies the complexity of operations on finite automata and the complexity of their decision problems when the alphabet is unary. Let $n$ denote the maximum of the number of states of the input finite automata considered in the corresponding results. The following main results are obtained: (1) Given two unary NFAs recognising $L$ and $H$, respectively, one can decide whether $L \subseteq H$ as well as whether $L = H$ in time $2^{O((n \log n)^{1/3})}$. The previous upper bound on time was $2^{O((n \log n)^{1/2})}$ as given by Chrobak (1986), and this bound was not significantly improved since then. (2) Given two unary UFAs (unambiguous finite automata) recognising $L$ and $H$, respectively, one can determine a UFA recognising $L \cup H$ and a UFA recognising complement of $L$, where these output UFAs have the number of states bounded by a quasipolynomial in $n$. However, in the worst case, a UFA for recognising concatenation of languages recognised by two $n$-state UFAs, uses $2^{Θ((n \log^2 n)^{1/3})}$ states. (3) Given a unary language $L$, if $L$ contains the word of length $k$, then let $L(k)=1$ else let $L(k)=0$. Let $ω_L$ be the $ω$-word $L(0)L(1)\ldots$ and let $\cal L$ be a fixed $ω$-regular language. The last section studies how difficult it is to decide, given an $n$-state UFA or NFA

研究动机与目标

• 改进一元非确定有限自动机（NFAs）语言包含与等价性判定的时间复杂度。
• 分析一元无歧义有限自动机（UFAs）上布尔运算（并、交、补）的状态复杂度。
• 在指数时间假设下，建立判定一元NFA或UFA是否生成某个固定ω-正则语言中ω-词的复杂度的紧致下界。
• 研究指数时间假设（ETH）对一元自动机上决策问题复杂度的影响。

提出的方法

• 通过利用一元词长度和自动机中环结构的数论性质，设计一种新颖的算法来比较两个一元NFAs。
• 基于素数和模运算构造，通过UFA中的环模拟1-in-3-SAT实例中的真值赋值。
• 构造一个UFA，使其生成一个编码无限重复3-SAT实例的ω-词，其中接受性取决于每条子句恰好满足一个文字。
• 应用指数时间假设（ETH）通过将3-occur 3SAT归约至ω-词成员关系问题，推导出条件下的下界。
• 将UFA转换为确定有限自动机（DFA），并模拟目标ω-正则语言的Muller自动机，以检查无限词的成员关系。
• 使用Chrobak正规形式的一种变体，使处于该形式的自动机可在LOGSPACE中实现高效比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 一元NFA的语言包含判定时间复杂度能否突破长期存在的 2^O((n log n)^1/2) 上限？
• RQ2 一元UFAs上布尔运算（并、交、补）的最紧致状态复杂度是多少？
• RQ3 两个一元UFAs连接的最坏情况状态复杂度是否存在超多项式下界？若是，其精确渐近形式为何？
• RQ4 在指数时间假设下，判定一元NFA或UFA是否生成某个固定ω-正则语言中的ω-词有多困难？
• RQ5 当两个一元UFAs处于Chrobak正规形式时，能否高效地进行比较？

主要发现

• 一元NFAs的包含与等价性问题可在时间 2^O((n log n)^1/3) 内判定，优于此前的 2^O((n log n)^1/2) 上限。
• 一元UFAs上的布尔运算（并、交、补）具有准多项式状态复杂度，具体为 2^O((log n)^c) 形式，其中c为某常数。
• 两个n状态一元UFAs连接的最坏情况状态复杂度为 2^Ω((n log² n)^1/3)，建立了近乎紧致的下界。
• 在指数时间假设下，判定一元UFA是否生成某个固定ω-正则语言中的ω-词需要时间 2^Ω′((n log n)^1/3)，与上界仅相差一个次对数因子。
• 处于Chrobak正规形式的两个一元UFAs的比较可在LOGSPACE中完成，表明该受限类具有显著的效率优势。
• 对于一般的一元UFAs，包括并、交、补和Kleene星在内的运算均可在POLYLOGSPACE中完成。