[论文解读] Laplace Method for calculate the Determinant of cubic-matrix of order 2 and order 3

Orgest Zaka, Armend Salihu|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2023

Color Science and ApplicationsPhysics and Astronomy被引用 3

一句话总结

本文将常用于二维方阵的拉普拉斯展开法扩展至二阶与三阶的三维立方体矩阵，证明其在计算实数行列式时的有效性。作者在三维背景下形式化定义了子式与代数余子式，提供了明确的证明与图示示例，并提出了行列式计算的递归算法实现，为高阶行列式理论奠定了基础框架。

ABSTRACT

In this paper, in continuation of our work, on the determinants of cubic -matrix of order 2 and order 3, we have analyzed the possibilities of developing the concept of determinant of cubic-matrix with three indexes, studying the possibility of their calculation according the Laplace expansion method's. We have noted that the concept of permutation expansion which is used for square determinants, as well as the concept of Laplace expansion method used for square and rectangular determinants, also can be utilized to be used for this new concept of 3D Determinants. In this paper we proved that the Laplace expansion method's is also valid for cubic-matrix of order 2 and order 3, these results are given clearly and with detailed proofs, they are also accompanied by illustrative examples. We also give an algorithmic presentation for the Laplace expansion method's.

研究动机与目标

• 将拉普拉斯展开法从二维方阵推广至二阶与三阶的三维立方体矩阵。
• 将三维立方体矩阵的行列式概念形式化为一个实数，区别于多标量解释。
• 在一致的代数框架下，将排列法与代数余子式展开法推广至三维矩阵情境。
• 为二阶与三阶的立方体矩阵提供拉普拉斯方法的递归算法实现。
• 通过详尽的证明与数值示例验证该方法，确保其与已知的二维行列式结果保持一致。

提出的方法

• 通过选择参考平面（水平层、垂直层或垂直面）将拉普拉斯展开原理适配至三维立方体矩阵。
• 通过从每个维度（i, j, k）递归移除一个索引，定义三维矩阵的子式与代数余子式，形成更小的三维子矩阵。
• 根据所选元素在三维矩阵中的位置，应用符号规则 $(-1)^{i+j+k}$ 确定代数余子式的符号。
• 通过相同拉普拉斯方法递归计算子行列式，终止于 1×1×1 矩阵，此时行列式即为唯一元素的值。
• 使用伪代码实现该方法，检查矩阵阶数，验证立方体结构，并可在任意三个维度上应用展开。
• 采用递归函数 `det_3DLaplace`，通过在选定的索引平面上对元素与其对应代数余子式的乘积求和来计算行列式。

Figure 1. 3D-Matrix view

实验结果

研究问题

• RQ1 拉普拉斯展开法能否推广至计算二阶与三阶三维立方体矩阵的行列式？
• RQ2 在具有三个索引的三维矩阵背景下，子式与代数余子式应如何定义？
• RQ3 三维行列式展开中代数余子式的正确符号约定是什么？其如何从二维矩阵推广而来？
• RQ4 对于二阶与三阶的三维立方体矩阵，递归拉普拉斯方法是否具有一致性且计算上有效？
• RQ5 能否形式化指定并验证三维拉普拉斯方法的算法实现以确保正确性？

主要发现

• 拉普拉斯展开法在二阶与三阶立方体矩阵上被严格证明有效，其适用范围已超越二维方阵。
• 二阶立方体矩阵（2×2×2）的行列式通过元素与其三维代数余子式乘积的和来计算，符号规则基于索引位置保持一致。
• 对于三阶立方体矩阵（3×3×3），可通过任意三个维度中的任一维进行递归展开，无论选择哪一平面，结果均相同。
• 该方法结果一致：通过多种展开路径计算测试的 3×3×3 矩阵行列式，结果均为 326，验证了正确性。
• 算法实现正确处理了基本情况（1×1×1 矩阵），验证了矩阵结构，并避免对非立方体或更高阶矩阵进行计算。
• 作者证明了二维行列式中使用的基于排列的方法可扩展至三维矩阵，为三维行列式理论提供了连贯的代数基础。