[论文解读] Laplace operators and diffusions in tangent bundles over Poisson spaces

Sergio Albeverio, Alexei Daletskii+1 more|ArXiv.org|Aug 14, 2006

advanced mathematical theories参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文在泊松配置空间上的切丛上构造了微分形式与拉普拉斯算子，通过基流形上的函数狄利克雷算子与惠特尼拉普拉斯算子，引入了一类德雷姆型拉普拉斯算子作用于1-形式。关键贡献在于建立了相关拉普拉斯算子的概率半群表示，将基流形上的随机过程与无穷维泊松空间的几何联系起来。

ABSTRACT

Spaces of differential forms over configuration spaces with Poisson measures are constructed. The corresponding Laplacians (of Bochner and de Rham type) on 1-forms and associated semigroups are considered. Their probabilistic interpretation is given.

研究动机与目标

• 将有限维的霍奇–德雷姆理论推广至作为局部有限配置流形的无穷维泊松空间。
• 在配备泊松测度的泊松配置空间上定义微分形式空间。
• 在此无穷维设定下，构造并分析作用于1-形式的博赫纳型与德雷姆型拉普拉斯算子。
• 通过基流形上的随机过程，为相关半群提供概率解释。
• 建立泊松空间上的德雷姆拉普拉斯算子与基流形上惠特尼拉普拉斯算子之间的联系。

提出的方法

• 将泊松配置空间 γ ∈ Γ_X 的切丛定义为希尔伯特空间 T_γΓ_X = ⊕_{x∈γ} T_xX，配备关于配置测度的 L² 内积。
• 在基流形 X 上引入一族随机过程 (ξ_γ(t))，其驱动切丛上的动力学，并用于定义平行移动算子 P_ξ^J(t)。
• 通过平行移动的期望构造1-形式上的半群 T_1^J(t)：T_1^J(t)V(γ) = E[P_ξ^J(t)V(ξ_γ(t))]，将基流形的几何与配置空间联系起来。
• 利用同构 I^1 将配置空间上的半群分解为函数空间上的奥恩斯坦–乌伦贝克半群 T_0(t) 与1-形式空间上的基于过程的半群 T_1^J(t) 的张量积。
• 推导半群 T_1^J(t) 的生成元 H_1^J，并通过势函数 J 将其与基流形上的惠特尼拉普拉斯算子联系起来。
• 证明泊松空间上的德雷姆拉普拉斯算子对应于势函数 J = R_σ(x) 时的半群 T_1^J(t) 的生成元，从而将其与泊松测度的曲率和强度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在无穷维泊松配置空间上严格定义微分形式？
• RQ2 泊松空间上1-形式的德雷姆拉普拉斯算子的结构是什么？它与基流形几何有何关联？
• RQ3 能否通过基流形上的随机过程，对1-形式上的拉普拉斯算子进行概率表示？
• RQ4 与配置空间上拉普拉斯算子相关的半群如何根据基流形的动力学进行分解？
• RQ5 在此无穷维框架下，函数上的狄利克雷算子与1-形式上的拉普拉斯算子之间存在何种关系？

主要发现

• 泊松空间上1-形式的德雷姆拉普拉斯算子可表示为函数上的狄利克雷算子与基流形上惠特尼拉普拉斯算子之和，后者由强度测度加权。
• 1-形式上的半群 T_1^J(t) 满足估计式 ||T_1^J(t)V(γ)||_γ ≤ e^{tC} T_0(t)||V(γ)||_γ，其中 C 为势函数 J 的谱的上界。
• 通过同构 I^1，半群 T_1^J(t) 与函数空间上的奥恩斯坦–乌伦贝克半群 T_0(t) 和1-形式空间上的基于过程的半群 T_1^J(t) 的张量积等距同构。
• 泊松空间上博赫纳拉普拉斯算子的生成元 H_π_σ^B 等于 -H_1^{J_0}，其中 J_0 = 0；而 H_π_σ^R = -H_1^{J_1}，其中 J_1 = R_σ(x) 为曲率势函数。
• 半群 T_π_σ^B(t) 与 T_π_σ^R(t) 分别与 T_1^{J_0}(t) 和 T_1^{J_1}(t) 相同，从而确立了拉普拉斯算子的概率表示。
• 半群在 L²_π_σΩ¹ 上强连续，且其生成元在光滑紧支1-形式空间上本质上自伴。