[论文解读] Laplace operators on the cone of Radon measures

Yuri Kondratiev, Eugene Lytvynov+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2015

advanced mathematical theories参考文献 33被引用 4

一句话总结

本文在黎曼流形 X 上的 Radon 测度锥上构造了一个拉普拉斯算子，尽管其底层群作用不具备准不变性。通过利用部分准不变性并结合 Dirichlet 型理论，作者证明了该算子的本征自伴性，并显式构造了一个在离散 Radon 测度空间上的扩散过程，其生成元即为该拉普拉斯算子。

ABSTRACT

We consider the infinite-dimensional Lie group $\mathfrak G$ which is the semidirect product of the group of compactly supported diffeomorphisms of a Riemannian manifold $X$ and the commutative multiplicative group of functions on $X$. The group $\mathfrak G$ naturally acts on the space $\mathbb M(X)$ of Radon measures on $X$. We would like to define a Laplace operator associated with a natural representation of $\mathfrak G$ in $L^2(\mathbb M(X),μ)$. Here $μ$ is assumed to be the law of a measure-valued Lévy process. A unitary representation of the group cannot be determined, since the measure $μ$ is not quasi-invariant with respect to the action of the group $\mathfrak G$. Consequently, operators of a representation of the Lie algebra and its universal enveloping algebra (in particular, a Laplace operator) are not defined. Nevertheless, we determine the Laplace operator by using a special property of the action of the group $\mathfrak G$ (a partial quasi-invariance). We further prove the essential self-adjointness of the Laplace operator. Finally, we explicitly construct a diffusion process on $\mathbb M(X)$ whose generator is the Laplace operator.

研究动机与目标

• 在黎曼流形 X 上的 Radon 测度空间上定义一个拉普拉斯算子，尽管在大型无限维李群作用下该测度不具有准不变性。
• 克服由于测度 μ（即测度值 Lévy 过程的分布）不具准不变性而导致的单位表示障碍。
• 在 Radon 测度锥上的 L² 空间中建立拉普拉斯算子的本征自伴性。
• 在离散 Radon 测度空间上显式构造一个扩散过程，其生成元即为所定义的拉普拉斯算子。
• 探讨一般 Radon 测度空间上替代的切空间结构及其相关的 Dirichlet 型和生成元。

提出的方法

• 将无限维李群 𝔾 定义为 X 上紧支微分同胚群与 X 上具有紧支集的正连续函数乘法群的半直积。
• 利用 𝔾 在 Radon 测度空间 ℳ(X) 上的作用，即使 μ 不具准不变性，仍定义一个自然表示。
• 引入部分准不变性的概念，通过在原子有限配置空间上的 Dirichlet 型来定义拉普拉斯算子。
• 将拉普拉斯算子的生成元构作为包含 X 上拉普拉斯–贝尔特拉米算子和 ℝ₊ 上二阶微分算子的积分算子。
• 利用 Dirichlet 型理论和底层测度值 Lévy 过程的结构，证明拉普拉斯算子的本征自伴性。
• 利用马尔可夫性质和相关随机过程的构造，显式构造一个在 ℳ(X) 上具有连续样本路径的扩散过程，其生成元与所定义的拉普拉斯算子一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 当底层群作用不保持测度 μ 时，是否仍可在 Radon 测度空间上定义拉普拉斯算子，从而排除标准单位表示的可能性？
• RQ2 在缺乏完全准不变性的情况下，群作用和测度 μ 的哪些结构性质允许对拉普拉斯算子进行有意义的定义？
• RQ3 通过 Dirichlet 型方法定义的拉普拉斯算子在柱函数空间上是否为本征自伴的？
• RQ4 是否可以显式构造一个在离散 Radon 测度空间上的保守扩散过程，其生成元即为拉普拉斯算子？
• RQ5 Lévy 过程中强度测度 l(s) 的选择如何影响相关扩散过程的路径行为和保守性？

主要发现

• 即使测度 μ 在群作用下不具准不变性，拉普拉斯算子仍可通过在离散 Radon 测度空间上的 Dirichlet 型来定义。
• 拉普拉斯算子在柱函数空间上是本征自伴的，确保了唯一的自伴扩张。
• 在离散 Radon 测度空间上显式构造了一个扩散过程，其生成元与所定义的拉普拉斯算子一致。
• 拉普拉斯算子的生成元作用为局部算子的积分：X 上的拉普拉斯–贝尔特拉米算子与 ℝ₊ 上的二阶微分算子。
• 在伽马测度情形（l(s) = e⁻ˢ）下，过程的径向分量是非保守的，因其可到达零点并被吸收，提示整个过程可能存在非保守性。
• 在 ℳ(X) 上采用替代的切空间结构，将导出不同的 Dirichlet 型和生成元，但相关过程在伽马情形下仍为非保守，表明显式构造面临挑战。