[论文解读] Laplacian Estrada index of trees

Aleksandar Ilić, Bo Zhou|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2011

Graph theory and applicationsMathematics参考文献 23被引用 22

一句话总结

该论文证明，在所有具有 $ n $ 个顶点的树中，路径 $ P_n $ 使拉普拉斯埃斯特拉达指数（LEE）最小，星形 $ S_n $ 使 LEE 最大，且双星 $ S_n(2,n-2) $ 是唯一具有第二高 LEE 的树。通过谱变换（$ \sigma $-变换）和拉普拉斯埃斯特拉达指数与图的线图的埃斯特拉达指数之间的已知关系，作者利用谱矩比较和特征多项式根的分析，证明了该排序结果。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph with $n$ vertices and let $μ_1 \geqslant μ_2 \geqslant...\geqslant μ_{n - 1} \geqslant μ_n = 0$ be the eigenvalues of its Laplacian matrix. The Laplacian Estrada index of a graph $G$ is defined as $LEE (G) = \sum\limits_{i = 1}^n e^{μ_i}$. Using the recent connection between Estrada index of a line graph and Laplacian Estrada index, we prove that the path $P_n$ has minimal, while the star $S_n$ has maximal $LEE$ among trees on $n$ vertices. In addition, we find the unique tree with the second maximal Laplacian Estrada index.

研究动机与目标

• 确定所有 $ n $-顶点树中拉普拉斯埃斯特拉达指数（LEE）的极值树（最小和最大）。
• 通过验证其满足预期排序关系 $ LEE(P_n) < LEE(T) < LEE(S_n) $，验证 LEE 作为测量烷烃分支度的拓扑指数的有效性，其中 $ T $ 为非路径且非星形的树。
• 识别所有 $ n $-顶点树中唯一第二高 LEE 的树。
• 建立树的拉普拉斯埃斯特拉达指数与其线图的埃斯特拉达指数之间的谱联系，从而可应用关于埃斯特拉达指数的已知结果。

提出的方法

• 利用已知恒等式 $ LEE(G) = n - m + e^2 \cdot EE(\mathcal{L}(G)) $，其中 $ \mathcal{L}(G) $ 是图 $ G $ 的线图，适用于二部图。
• 应用谱矩方法：$ EE(G) = \sum_{k=0}^\infty \frac{M_k(G)}{k!} $，其中 $ M_k(G) $ 表示长度为 $ k $ 的闭游走数。
• 采用 $ \sigma $-变换：一种将悬挂边从高阶顶点转移到其邻点的图操作，可增加谱矩。
• 利用若对所有 $ k $ 有 $ M_k(H) \geq M_k(G) $，且对某个 $ k $ 严格不等式成立，则 $ EE(H) > EE(G) $ 的事实，用于比较线图。
• 分析双星 $ S_n(a,b) $ 的拉普拉斯矩阵的特征多项式，重点研究其三个非平凡根，以比较 LEE 值。
• 应用根定位技术，对拉普拉斯特征多项式的三次因子的三个正根（最大、中间、最小）进行边界估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ n $ 个顶点的树中，哪棵树具有最小的拉普拉斯埃斯特拉达指数？
• RQ2 在 $ n $ 个顶点的树中，哪棵树具有最大的拉普拉斯埃斯特拉达指数？
• RQ3 在所有 $ n $-顶点树中，唯一第二高 LEE 的树是什么？
• RQ4 对于所有 $ n $-顶点树 $ T \neq P_n, S_n $，拉普拉斯埃斯特拉达指数是否满足预期排序 $ LEE(P_n) < LEE(T) < LEE(S_n) $？
• RQ5 能否利用 $ \sigma $-变换证明 LEE 在树的结构变化下具有单调性？

主要发现

• 在所有 $ n $-顶点树中，路径 $ P_n $ 具有最小的拉普拉斯埃斯特拉达指数。
• 在所有 $ n $-顶点树中，星形 $ S_n $ 具有最大的拉普拉斯埃斯特拉达指数。
• 对于 $ n \geq 5 $，双星 $ S_n(2,n-2) $ 是唯一具有第二高 LEE 的树。
• 对于 $ n \geq 8 $，有 $ LEE(S_n(3,n-3)) > LEE(S_n(\lfloor n/2\rfloor, \lceil n/2\rfloor)) $，确认 $ S_n(2,n-2) $ 为第二高。
• $ \sigma $-变换在二部图（包括树）中严格增加拉普拉斯埃斯特拉达指数，这是由于其线图的谱矩增加所致。
• 对于 $ n \geq 6 $，由将 $ n-5 $ 个顶点连接到 $ P_5 $ 的中心形成的树 $ C_n(n-5) $，是唯一具有第四高 LEE 的树，该结论基于 $ n \leq 22 $ 的计算验证。