[论文解读] Laplacian, on the graph of the Weierstrass function

Claire David|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过离散图拉普拉斯算子的重整化极限，构建了魏尔斯特拉斯函数图像上的狄利克雷型式及其相应的拉普拉斯算子，借鉴了基加米和斯特里科茨在分形上分析的框架。主要贡献在于对这一自相似、处处不可微的分形图像，严格定义了一个弱拉普拉斯算子，并利用谱约化方法计算其谱。

ABSTRACT

The Laplacian plays a major role in the mathematical analysis of partial differential equations. Recently, the work of J. Kigami, taken up by R. S. Strichartz, allowed the construction of an operator of the same nature, defined locally, on graphs having a fractal character: the triangle of Sierpinski, the carpet of Sierpinski, the diamond fractal, the Julia sets, the fern of Barnsley. Strangely, the case of the graph of the Weierstrass function, introduced in 1872 by K. Weierstrass, which presents self similarity properties, does not seem to have been considered anywhere. It is yet an obligatory passage, in the perspective of studying diffusion phenomena in irregular structures. We have asked ourselves the following question: given a continuous function u on the graph of the Weierstrass function, under which conditions is it possible to associate to u a function Delta u which is, in the weak sense, its Laplacian ? We present, in the following, the results obtained by following the approach of J. Kigami and R. S. Strichartz. Ours is made in a completely renewed framework, as regards, the one, affine, of the Sierpinski gasket. First, we concentrate on Dirichlet forms, on the graph of the Weierstrass function, which enable us the, subject to its existence, to define the Laplacian of a continuous function on this graph. This Laplacian appears as the renormalized limit of a sequence of discrete Laplacians on a sequence of graphs which converge to the one of the Weierstrass function. The normalization constants related to each graph Laplacian are obtained thanks Dirichlet forms. The spectrum of the Laplacian thus built is obtained through spectral decimation.

研究动机与目标

• 将分形上的分析理论——此前仅限于自相似集（如谢尔宾斯基垫片）——扩展到魏尔斯特拉斯函数的图像上，该图像为连续、处处不可微、自相似的曲线。
• 通过将离散狄利克雷型式在逼近图上的重整化极限构造狄利克雷型式，定义魏尔斯特拉斯图像上的弱拉普拉斯算子。
• 建立与魏尔斯特拉斯图像分形几何相容的测度和能量结构，从而实现一个行为良好的拉普拉斯算子的定义。
• 利用谱约化计算所得拉普拉斯算子的谱，其方法与谢尔宾斯基垫片上的技术相类似。
• 为研究在标准自相似分形之外的不规则、类似分形的区域上的扩散和偏微分方程，提供一个新框架。

提出的方法

• 采用基加米和斯特里科茨通过狄利克雷型式定义拉普拉斯算子的方法，使用魏尔斯特拉斯图像的分段线性逼近序列。
• 在逼近魏尔斯特拉斯函数的有限图上构造离散狄利克雷型式，能量通过相邻顶点函数值之差定义。
• 使用重整化方法对离散拉普拉斯算子进行缩放，使其极限能产生在完整图像上定义良好的连续算子。
• 引入一种特定的自相似测度于魏尔斯特拉斯图像上，该测度源自函数的缩放性质，用于加权狄利克雷能量。
• 应用谱约化方法计算拉普拉斯算子的谱，通过求解由图像自相似性导出的递推关系。
• 通过变换为共轭映射，求解涉及特征值参数的非线性递推关系，从而得到谱的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在魏尔斯特拉斯函数的图像上严格定义拉普拉斯算子，该图像为自相似、处处不可微的曲线？
• RQ2 如何在非后临界有限的自相似集之外的分形图像上构造狄利克雷型式及其相关能量？
• RQ3 需要何种归一化和测度，以确保离散图拉普拉斯算子收敛于一个定义良好的极限算子？
• RQ4 魏尔斯特拉斯图像上拉普拉斯算子的谱结构是什么？能否通过谱约化方法计算？
• RQ5 魏尔斯特拉斯图像的几何特性——特别是其复杂的自相似性和非整数维度——如何影响拉普拉斯算子的构造？

主要发现

• 在魏尔斯特拉斯图像上，作为逼近图上离散狄利克雷型式的重整化极限，构造了狄利克雷型式，从而实现了弱拉普拉斯算子的定义。
• 在所提出的框架下，尽管函数处处不可微，拉普拉斯算子在魏尔斯特拉斯函数的图像上仍为良好定义且连续。
• 通过谱约化方法计算了拉普拉斯算子的谱，得到一个离散的特征值集合，其特征值在无穷远处聚集。
• 通过共轭映射变换求解了特征值递推关系，从而得到谱的闭式表达式，其形式为迭代函数的表达。
• 该构造依赖于一个自相似测度和一种特定的能量归一化方式，以尊重魏尔斯特拉斯图像的分形几何。
• 该方法将斯特里科茨在谢尔宾斯基垫片上的方法推广到更广泛的分形图像类别，包括魏尔斯特拉斯函数的图像。