[论文解读] Large attractors in cooperative bi-quadratic Boolean networks. Part II

Winfried Just, Germán Enciso|ArXiv.org|Jan 29, 2008

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文证明了在合作性双二次布尔网络中，若存在指数级长的周期轨道（长度 >cⁿ，其中 c<2），则必须包含大量单变量调节函数（即仅复制前一状态的函数），这意味着此类系统实际上是由低维布尔延迟系统诱导的。关键贡献在于一种结构表征：这些网络中长周期轨道的存在，要求具备类似磁带的记忆结构，其动力学特性与图灵机相似。

ABSTRACT

Boolean networks have been the object of much attention, especially since S. Kauffman proposed them in the 1960's as models for gene regulatory networks. These systems are characterized by being defined on a Boolean state space and by simultaneous updating at discrete time steps. Of particular importance for biological applications are networks in which the indegree for each variable is bounded by a fixed constant, as was stressed by Kauffman in his original papers. An important question is which conditions on the network topology can rule out exponentially long periodic orbits in the system. In this paper we consider cooperative systems, i.e. systems with positive feedback interconnections among all variables, which in a continuous setting guarantees a very stable dynamics. In Part I of this paper we presented a construction that shows that for an arbitrary constant 0

研究动机与目标

• 确定合作性双二次布尔网络中是否存在指数级长的周期轨道，而无需大量单变量调节函数。
• 研究长周期轨道的存在是否意味着结构上类似于具有记忆磁带的图灵机系统。
• 在非单变量函数比例受限制的条件下，建立此类网络中最大周期长度的严格上界。
• 证明任何具有极长周期轨道的网络，必定是由具有有界延迟的低维布尔延迟系统诱导的。
• 弥合已知下界与上界之间在这些系统中周期长度指数增长率上的差距。

提出的方法

• 作者将单变量调节函数定义为仅依赖于一个输入的函数，其作用类似于磁带结构中的延迟记忆。
• 他们引入了 (M,n)-图灵系统的概念，其中至少 n−M 个调节函数为单变量函数，用以建模具有中心控制单元和多个磁带的系统。
• 通过合作动力学的结构分析，他们证明：任何具有长度 >cⁿ 的周期轨道的合作性双二次网络，都必须拥有大量单变量函数。
• 他们形式化了最大延迟为 d 的布尔延迟系统概念，其中状态转移依赖于过去的状态，并证明长周期网络是由此类系统诱导的。
• 他们推导出在非单变量函数比例（α）、最大入度（r）和出度（b）受限条件下，周期长度增长率 c(ε,α,b,r) 的上界。
• 他们使用数值估计来界定 c(ε,α,b,r)，表明当 α=0.1 且 ε=0.25 时，c≤1.9996，意味着超过 90% 的函数必须为单变量函数，才能实现此类长周期。

实验结果

研究问题

• RQ1 合作性双二次布尔网络是否可能在缺乏大量单变量调节函数的情况下，存在长度 >cⁿ（c<2）的周期轨道？
• RQ2 此类网络中长周期轨道的存在，是否在结构上等价于一种具有状态延迟复制机制的系统，类似于具有磁带的图灵机？
• RQ3 当非单变量函数的比例被限制在给定值 α 以下时，这些网络中周期轨道长度的指数增长率 c 的最大可能值是多少？
• RQ4 每个具有长周期的此类网络是否都可由具有有界延迟的低维布尔延迟系统诱导？
• RQ5 与已知下界（如 √2）相比，c(ε,α,b,r) 的上界有多紧？

主要发现

• 对于任意 ε>0 和 α>0，存在 c<2，使得任意 n 维 b-二次合作性布尔网络，若其周期轨道长度 >cⁿ，就必须至少具有 (1−α)n 个单变量调节函数。
• 若一个双二次合作性布尔网络的周期轨道长度 >c(0.25,0.1,2,2)ⁿ ≈ 1.9996ⁿ，则其至少 90% 的调节函数必须是单变量函数。
• 若一个网络的周期轨道长度 >c(0.25,1,2,2)ⁿ ≈ 1.9959ⁿ，那么其部分调节函数必须是单变量函数。
• 此类系统中长周期轨道的存在，意味着它们是由维度至多为 αn、最大延迟至多为 n 的布尔延迟系统诱导的。
• c(0.25,1,2,2) 的下界为 √2 ≈ 1.414，而上界为 1.9959，表明当前已知上下界之间仍存在显著差距。
• 无论是否存在负反馈或可消函数，该结果均成立，表明单变量函数在实现长周期轨道方面具有结构性必要性。