[论文解读] Large Banking Systems with Default and Recovery: A Mean Field Game Model

Romuald Élie, Tomoyuki Ichiba+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2020

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文提出了一种针对大型银行系统的平均场博弈模型，通过具有均值回归漂移和违约阈值首次 hitting 时间的 McKean-Vlasov SDE，纳入违约与回收动态。将系统性风险建模为 Fokker-Planck 方程中的爆破现象，并为银行制定最小化风险的优化问题，在特定情况下给出显式解，一般情况下通过有限差分格式给出数值结果。

ABSTRACT

We consider a mean-field model for large banking systems, which takes into account default and recovery of the institutions. Building on models used for groups of interacting neurons, we first study a McKean-Vlasov dynamics and its evolutionary Fokker-Planck equation in which the mean-field interactions occur through a mean-reverting term and through a hitting time corresponding to a default level. The latter feature reflects the impact of a financial institution's default on the global distribution of reserves in the banking system. The systemic risk problem of financial institutions is understood as a blow-up phenomenon of the Fokker-Planck equation. Then, we incorporate in the model an optimization component by letting the institutions control part of their dynamics in order to minimize their expected risk. Phrasing this optimization problem as a mean-field game, we provide an explicit solution in a special case and, in the general case, we report numerical experiments based on a finite difference scheme.

研究动机与目标

• 将大型银行系统的系统性风险建模为由违约级联引发的 Fokker-Planck 方程中的爆破现象。
• 通过构建平均场博弈模型，纳入银行的战略行为，使金融机构通过优化其动态以最小化特异性风险。
• 分析交互强度、初始财富、波动率和贴现率对违约率与系统稳定性的影响。
• 基于有限差分方法开发一种数值格式，并结合迭代算法求解耦合的 Hamilton-Jacobi-Bellman 与 Fokker-Planck 方程。
• 研究系统在何种条件下表现出爆破或收敛至稳态，特别是当初始财富接近零时。

提出的方法

• 为个体银行储备金建立一个 McKean-Vlasov SDE，其漂移项依赖于经验平均储备金与一个均值回归项。
• 将银行违约建模为当储备金降至零时的 hitting 时间，触发系统性冲击，使其他所有银行的储备金按平均储备金的一定比例减少。
• 引入一种新生机制，即在违约发生时，立即创建一个储备金等于违约前平均储备金的新银行，以保持机构总数不变。
• 推导储备金分布的相应 Fokker-Planck 方程，并将爆破识别为系统性危机的标志。
• 将优化问题形式化为平均场博弈，导出耦合的 Hamilton-Jacobi-Bellman 与 Fokker-Planck 方程系统。
• 提出一种基于有限差分的迭代格式（算法1），利用逐次超松弛法与牛顿法实现收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 银行之间的交互强度如何影响系统性风险的出现，以违约率动态为衡量指标？
• RQ2 在何种条件下 Fokker-Planck 方程会出现爆破，这与金融危机级联现象有何关联？
• RQ3 初始储备水平、波动率与贴现率如何影响银行系统的长期稳定性？
• RQ4 在特定参数假设下，能否为平均场博弈推导出显式解？
• RQ5 在模拟过程中，当初始储备金接近零时会遇到哪些数值挑战，又是如何解决的？

主要发现

• 违约率随交互强度（a）或初始平均储备金（x₀）的增加而上升，随贴现率（r）的提高或波动率（σ）的降低而下降。
• 当初始平均储备金为 3.0 时，系统保持稳定，违约率接近零，且平均储备金随时间变化极小。
• 当初始储备金低于约 1.8 时，数值收敛失败，表明在 T=10 前可能发生爆破，与理论预期一致。
• 由于扩散效应导致弱银行迅速违约，违约率最初迅速上升，随后在新银行以平均水平重新注入后趋于稳定。
• 解在初始平均值附近保持集中，但需足够大的空间域（L=10）以保持质量并避免边界效应。
• 数值实验表明，在基线参数（a=0.5, x₀=2.0, r=0.5, σ=1.0）下，迭代有限差分格式能够收敛，产生稳定且可解释的 m 与 u 动力学。