[论文解读] Large classes of minimally supported frequency wavelets of L^2(\R) and H^2(\R)

Nicola Arcozzi, Biswaranjan Behera+1 more|ArXiv.org|Jul 17, 2002

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文提出一种几何构造方法，用于在 $L^2(\mathbb{R})$ 和 $H^2(\mathbb{R})$ 中生成大量最小支撑频率（MSF）小波，方法基于源自二进制多边形的对称小波集。证明了存在不可数多个对称小波集，包括具有非二进制端点的小波，以及其傅里叶变换在原点附近不为零的小波，从而解决了Hernández和Garrigós提出的一些开放问题。

ABSTRACT

We introduce a method to construct large classes of MSF wavelets of the Hardy space H^2(\R) and symmetric MSF wavelets of L^2(\R), and discuss the classification of such sets. As application, we show that there are uncountably many wavelet sets of L^2(\R) and H^2(\R). We also enumerate all symmetric wavelets of L^2(\R) with at most three intervals in the positive axis as well as 3-interval wavelet sets of H^2(\R). Finally, we construct families of MSF wavelets of L^2(\R) whose Fourier transform does not vanish in any neighbourhood of the origin.

研究动机与目标

• 为 $L^2(\mathbb{R})$ 和 $H^2(\mathbb{R})$ 中构造大类MSF小波开发系统化方法。
• 对所有 $n \geq 1$，对正实轴上有限个区间的对称小波集进行分类。
• 解决关于傅里叶变换在原点附近不为零的小波以及具有非二进制端点的小波的存在性问题。
• 证明在 $L^2(\mathbb{R})$ 和 $H^2(\mathbb{R})$ 中，对称小波集与区间小波集均为不可数多个。

提出的方法

• 通过将小波集与顶点位于二进制格点上的多边形关联，构造对称小波集，从而为任意 $n \geq 1$ 生成参数化族。
• 利用定理1中的几何条件(T)和(D)：$\coprod_{n\in\mathbb{Z}}(K+n) = \mathbb{R}$ a.e. 与 $\coprod_{n\in\mathbb{Z}}2^nK = \mathbb{R}$ a.e.，以确保小波集的有效性。
• 通过涉及 $E_l$、$F_l$、$G_l$、$H_l$ 以及固定区间 $R_2$、$S_1$、$S_2$、$S_3$、$L_2$、$T_1$、$T_2$、$T_3$ 的递归区间构造，定义小波集 $K_{n,\epsilon}$，其中包含一个实参数 $\epsilon$。
• 证明 $K_{n,\epsilon}$ 与基小波集 $K_n$ 之间满足伸缩与平移等价性，从而确保 $K_{n,\epsilon}$ 满足小波集条件。
• 利用对称性与区间的递归包含，确保 $K_{n,\epsilon}$ 有界且以0为聚点。
• 利用参数 $\epsilon \in (0, e_n/4)$ 生成不可数多个不同的对称小波集，包括具有非二进制端点的小波集。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L^2(\mathbb{R})$ 中，当 $K^+$ 包含3个区间时，是否存在不可数多个对称小波集？
• RQ2 能否构造出其傅里叶变换在原点任意邻域内均不为零的MSF小波？
• RQ3 是否存在具有非二进制端点的对称小波集，即端点不为 $p/2^q$ 形式？
• RQ4 能否对 $n \geq 3$ 的对称小波集进行完整分类？
• RQ5 该构造方法能否产生具有特定区间结构的 $H^2(\mathbb{R})$ 中的小波？

主要发现

• 当 $n=3$ 时，由 $K_a^+ = [a, 1/2] \cup [1-a, 2a] \cup [1, 2(1-a)]$ 定义的对称小波集族，其中 $a \in (1/3, 1/2)$，提供了不可数多个此类集合。
• 对所有 $n \geq 2$ 且 $0 < \epsilon < e_n/4$ 构造的小波集 $K_{n,\epsilon}$ 均有界，且以0为聚点。
• 与 $K_{n,\epsilon}$ 关联的小波 $\psi_{n,\epsilon}$ 的傅里叶变换为偶函数，且在原点的任意邻域内均不为零。
• 本文构造了一类对称小波集，其端点关于实参数 $a$ 连续依赖，从而证明了在 $n>2$ 时存在不可数多个此类小波集。
• 当 $n=1$ 时，唯一的对称小波集是Shannon集 $K^+ = [1/2, 1]$。
• 本文枚举了 $L^2(\mathbb{R})$ 中在正轴上至多包含三个区间的对称小波，以及 $H^2(\mathbb{R})$ 中3区间小波集。